>
а розкладання функції f ( t ) за зміщеним многочленів Чебишева першого роду має вигляд
(18)
Коефіцієнти a k ( k = 0, 1, ...) обчислюються за формулою (17), в якій - коефіцієнти зміщеного многочлена Чебишева першого роду. p> У обчисленнях зручніше користуватися тригонометричної записом многочленів, а саме:
Зробивши заміну змінної 2 x - 1 = cosОё (0 ≤ Оё ≤ ПЂ) і враховуючи, що розкладання (18) можна переписати у вигляді:
В
ВИСНОВОК
Одним з найбільш потужних засобів вирішення диференціальних рівнянь, як звичайних, так, особливо, в приватних похідних, є метод інтегральних перетворень.
Перетворення Фур'є, Лапласа, Ганкеля та інші застосовуються для вирішення задач теорії пружності, теплопровідності, електродинаміки та інших розділів математичної фізики.
Перетворення Лапласа - інтегральне перетворення, зв'язує функцію комплексної змінної (зображення) з функцією дійсного змінного (оригінал). З його допомогою досліджуються властивості динамічних систем і вирішуються диференціальні та інтегральні рівняння.
Однією з особливостей перетворення Лапласа, які визначили його широке поширення в наукових та інженерних розрахунках, є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналами відповідають простіші співвідношення над їх зображеннями.
Інтеграл Лапласа має вигляд:
В
де інтегрування проводиться по деякому контуру L в площині комплексного змінного z, що ставить у відповідність функції f (z), визначеної на L, аналітичну функцію F (p) комплексної змінної p = s + it.
Чисельне перетворення Лапласа - чисельне виконання перетворення
,
переводящего оригінал f ( t ), 0 < t <в€ћ в зображення F (p) , , а також чисельне звернення перетворення Лапласа.
Необхідність застосування чисельного перетворення Лапласа виникає внаслідок того, що таблиці оригіналів і зображень охоплюють далеко не всі зустрічаються в практиці випадки, а також внаслідок того, що оригінал або зображення найчастіше виражаються занадто складними, незручними для застосувань формулами.
Задачу чисельного обернення перетворення Лапласа можна також вирішувати методами, заснованими на розкладанні функції-оригіналу в функціональний ряд. Сюди в першу чергу можна віднести розкладання в степеневий ряд, в узагальнений статечної ряд, в ряд по показовим функціям, а також в ряди по ортогональних функціях, в Зокрема по многочленів Чебишева, Лежандра, Якобі і Лагерра. Завдання розкладання оригіналу в ряди по многочленів Чебишева, Лежандра, Якобі в остаточному своєму вигляді зводиться до проблеми моментів на кінцевому проміжку. Нехай відомо перетворення Лапласа F (p) функції ОІ ( t ) f ( t ):
В
де f (t) - шукана функція, а ОІ (t) - неотрицательная, інтегрована на [0, в€ћ) функція.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Ван дер Поль Б., Бремер Х. Операційне числення на основі двосторонньої перетворення Лапласа. - М.: Видавництво іноземної літератури, 1952. - 507 с. p> 2. Діткин В.А., Прудніков А. П. Інтегральні перетворення та операційне числення. - М.: Головна редакція фізико-математичної літератури видавництва В«НаукаВ», 1974. - 544 с. p> 3. Кожевников Н.І., Краснощекова Т. І., Шишкін Н. Е. Ряди та інтеграли Фур'є. Теорія поля. Аналітичні та спеціальні функції. Перетворення Лапласа. - М.: Наука, 1964. - 184 с. p> 4. Крилов В.І., СКОБЛОВ Н.С. Методи наближеного перетворення Фур'є та звернення перетворення Лапласа. - М.: Наука, 1974. - 226 с. p>. ru
