гіналу в функціональний ряд. Сюди в першу чергу можна віднести розкладання в степеневий ряд, в узагальнений статечної ряд, в ряд по показовим функціям, а також в ряди по ортогональних функціях, зокрема по многочленів Чебишева, Лежандра, Якобі і Лагерра. Завдання розкладання оригіналу в ряди по многочленів Чебишева, Лежандра, Якобі в остаточному своєму вигляді зводиться до проблеми моментів на кінцевому проміжку. Нехай відомо перетворення Лапласа F (p) функції ОІ ( t ) f ( t ):
В
де f (t) - шукана функція, а ОІ (t) - неотрицательная, інтегрована на [0, в€ћ) функція. Передбачається, що функція f (t) інтегровна на будь-якому кінцевому відрізку [0, Т] і належить класу L 2 (ОІ ( t ), 0 , в€ћ). По зображенню F (р). функції ОІ (t), f (t), функція f (t) будується у вигляді ряду по зміщеним многочленів Якобі, зокрема по зміщеним многочленів Лежандра, Чебишева першого і другого роду, коефіцієнти якого a k обчислюються за формулою.
В
де - коефіцієнти зміщеного многочлена Лежандра, Чебишева першого і другого роду відповідно, записаних у вигляді
Іншим прийомом чисельного обернення перетворення Лапласа є побудова квадратурних формул для інтеграла звернення (8).
4. Звернення перетворення Лапласа за допомогою многочленів, ортогональних на кінцевому проміжку
4.1 Постановка завдання
Задачу перетворення Лапласа можна вирішувати методами, заснованими на розкладанні оригіналу в ряди по ортогональних функціях, зокрема по многочленів Чебишева, Лежандра і Якобі.Ета завдання, яка в остаточному своєму вигляді зводиться до проблеми моментів на кінцевому проміжку, була піддана вивченню в роботах багатьох авторів.
Розглянемо постановку цього завдання в такому вигляді, як це зроблено в роботах В.М. Амербаева і в книзі В.А. Діткин і А.П. Пруднікова [2]. p> Нехай відомо перетворення Лапласа F ( p ) функції ОІ ( t ) f ( t ):
(10)
Де f ( t ) - шукана функція, а ОІ ( t ) - неотрицательная, абсолютно інтегрована на [0, в€ћ) функція. Припустимо, що функція f ( t ) інтегровна на будь-якому кінцевому відрізку [0, Т] і належить класу L 2 (ОІ ( t ), 0, в€ћ):
В
(11)
Потрібно за зображенню F ( р ) функції ОІ (t) f (t), побудувати функцію f ( t ). p> У інтегралі (10) введемо заміну змінної x = e - t ; тоді він приведеться до увазі
(12)
де
В
У силу умов, які накладені на функції f ( t ) і ОІ ( t ), інтеграл (12) сходиться всюди в площині Re p ≥, 0, тому змінної р можна надати значення 0, 1, 2, ... і отримати В«зважені моментиВ» функції
(13)
Після цього вирішувану завдання можна сформулювати так: знайти функцію по її В«зваженим моментам В», або, що теж саме, знайти функцію f ( t ) за значеннями зображення функції ОІ (t) f (t) в цілочисельних точках p = k ( k = 0, 1, 2, ...). В окремому випадку цю завдання можна спростити і по перших п + 1 В« зваженим моментамВ» шукати многочлен, такий, щоб його В«зважені моментиВ» збігалися з заданими моментами функції, тобто щоб виконувалися рівності
(14)
4.2.Обращеніе перетворення Лапласа за допомогою зміщених многочленів Лежандра
Розглянемо окремий випадок ваговій функції
(15)
або.
В
багаточленний, ортогональними на відрізку [0,1] з вагою, будуть зміщені многочлени Лежандра
Вони задаються формулою
при
або ж формулою
В В
Величина r n в цьому випадку дорівнює
В
і розкладання функції f ( t ) за зміщеним многочленів Лежандра має вигляд
(16)
Величини О± k обчислюються за формулою
(17)
в якій - коефіцієнти зміщеного многочлена Лежандра
4.3. Звернення перетворення Лапласа за допомогою зміщених многочленів Чебишева першого роду.
Покладемо тепер Вагова функція має вигляд
і
Зміщені многочлени Чебишева першого роду є ортогональної системою на [0,1] за вагою
Багаточлени Якобі відрізняються від тільки чисельним множником, а саме
,
де
Багаточлени мають вигляд
В
Значення r n обчислюються за формулами
В
