процентна ставка, - час виконання контракту. Якщо зручність від володіння одним барелем нафти пропорційно поточною ціною,, то для логнормального розподілу ціни отримаємо відому залежність між ф'ючерсними та поточними цінами:
В
Обвал цін в 1998 році привів до того, що, коли ціна суміші Brent впала нижче 15 дол за барель, далекі ф'ючерси стали коштувати дорожче ближніх (контанго). З 1999 року, коли ціни перевищили рівень 17 дол за барель, спостерігається зворотна картина (беквардація). Фактично такі явища спостерігалися з моменту початку вільного ціноутворення на нафтовому ринку, тобто приблизно з середини 1979 року. Це дозволяє припустити існування якоїсь В«СередньоїВ» номінальної ціни за нафту десь на рівні 15 - 17 дол за барель. Те, що далекі ф'ючерси прагнуть до цієї ціни, свідчить про те, що у ринку В«підсвідомоВ» присутній прагнення повернутися до свого середнього значенням. Ці аргументи послужили підставою моделювати ціни на нафту за допомогою процесів В«Повернення до середньогоВ» (mean reverting). Найпростішим прикладом такого процесу є арифметичний процес Орнштейна-Уленбека:
В
Умови стаціонарності та обмеженості визначають діапазон. Можна показати (див. статтю Гордона Сіка [14]), що для цього стохастичного процесу систематичний ризик призводить до того, що далекі ф'ючерси повинні стояти нижче середньої ціни. Це частково підтверджується історичними даними. Так, за період з 1986 року по 2000 ціна суміші Brent коливалася близько дол, а перебували, принаймні протягом двох останніх років, в діапазоні 15-17 доларів за барель. Крім того, більшу частину розглянутого періоду на ринку спостерігалася беквардація (див. також роботу Літценбергера і Рабиновича.
Існують моделі, що припускають, що поточні ціни і зручність володіння є випадковими процесами, що мають спільне розподіл (див. наприклад роботу Гіббсона і Шварца [16], а також Шварца [17]). Ці моделі дозволяють більш точно описувати динаміку ф'ючерсів з різними термінами виконання, проте не додають нічого нового в моделюванні динаміки поточних цін.
Якщо розглянути період з 1970 року, то видно, що ціни на нафту періодично (приблизно раз на 6-7 років) відчувають різкі шоки (див. рис. 1.2). У зв'язку з цим отримали певне поширення моделі (наприклад, робота Діаса і Рош [18]), в яких ціни на нафту, крім випадкових броунівським збурень, можуть відчувати пуассонівської шоки, тобто
В
де з ймовірністю і з імовірністю і. З історичних даних випливає, що можна взяти (один стрибок відбувався в 6-7 років). Величина стрибка носить випадковий характер, її щільність розподілу може бути представлена ​​у вигляді комбінації двох обрізаних нормальних розподілів.
В
Рис. 1.4. Щільність розподілу стрибка
Необхідність додавання пуассонівських шоків обумовлена переходом від дискретних до безперервних моделями. При зменшенні тимчасового інтервалу величина броунівським збурень прагн...
