атися наступна лема.
ЛЕММА 1. Якщо величини - ненульові, мають постійні темпи, і
,
то їх темпи зростання збігаються.
ДОКАЗ Лемма. Припустимо гидке:
,
.
Нехай, для визначеності,. Тоді
.
При , Ліва частина рівності прагне до постійної, тоді як модуль правої частини прагне до 0 або до. Отримане протиріччя показує, що в–
ДОКАЗ ПРОПОЗИЦІЇ. АБ. З (2) випливає, що
В
Тут права частина постійна, отже
, тоді (в силу (4)) і (в силу (3)).
БВ. З (2) випливає, що
.
Ліва частина постійна, а доданки в правій частині мають постійні темпи приросту. За лемі, темпи приросту величин
рівні, отже, Оскільки, з (2) випливає, що
В
У цій рівності права і ліва частини мають постійні темпи приросту, отже, ці темпи збігаються:
В
ВА. Очевидно в–
Позначимо загальний темп приросту змінних на збалансованої траєкторії через. Наслідком пропозиції 1 є наступне твердження, яке можна розглядати як узагальнення теореми Узави (див. далі пропозиція 3). Введемо позначення. p> ПРОПОЗИЦІЯ 2. Всяка збалансована траєкторія може бути побудована за допомогою двофакторної виробничої функції з трудосберегающим технічним прогресом
(5)
де G - неокласична функція (тобто володіє стандартними властивостями виробничої функції, зокрема, що має постійну віддачу від масштабу - CRS). При цьому темп приросту технічного прогресу збігається з темпом приросту душового доходу:
В
ДОКАЗ. Нехай - довільна неокласична функція. Можна підібрати число так, що
.
Нехай
Тоді на збалансованої траєкторії
по властивості CRS
за пропозицією 1
в–
Таким чином, якщо модель задана за допомогою деякої CRS виробничої функції F, то на збалансованій траєкторії може діяти також і інша CRS виробнича функція G будь-якого виду з трудосберегающим технічним прогресом. Звідси випливає неможливість однозначного вибору виробничої функції, якщо спостережувана траєкторія - збалансована.
Зауважимо, що отримане у реченні 2 подання G виробничої функції не пов'язано зі структурою спочатку заданої функції F. На збалансованої траєкторії значення функцій F і G збігаються, однак функція G не успадкує ніяких інших властивостей функції F.
Сенс пропозиції 2 вельми прозорий. Як випливає з пропозиції 1, на збалансованій траєкторії капітал і випуск ростуть загальним темпом, а зростання праці В«не дотягуєВ» до цього темпу. Якщо технічний прогрес додасть ефективної праці необхідну добавку темпу, то капітал і ефективну працю будуть рости одним темпом, що забезпечить зростання випуску тим же темпом. p> Вид (5) - не єдиний вид виробничої функції, який призводить до даної збалансованої траєкторії. Наприклад, ту ж збалансов...
