ану траєкторію може визначати функція Леонтьєва або виробнича функція AK-моделі
В
де
Такого роду неоднозначність зменшується, якщо обмежити безліч збалансованих траєкторій умовою сталості часткою факторів.
ПРОПОЗИЦІЯ 3 (Теорема Узави - див Uzawa, 1961, Jones, Scrimgeour, 2005). Якщо модель визначена безперервно диференціюється CRS виробничою функцією, і на збалансованій траєкторії частки факторів
В
постійні в часі [5], то (5) - єдино можливе подання виробничої функції F на цій траєкторії.
Доказ див Jones, Scrimgeour, 2005 в–
Хоча пропозиція 3 звужує, порівняно з пропозицією 2, клас виробничих функцій, придатних для побудови збалансованої траєкторії, воно не дозволяє виявити вид функції F поза цієї траєкторії. Тобто неможливо однозначно специфікувати виробничу функцію, спостерігаючи лише одну збалансовану траєкторію.
Нехай, наприклад,
- збалансована траєкторія,
- відомі частки капіталу і праці на цій траєкторії, і ми хочемо специфікувати CES функцію
В
У такому випадку початковий рівень технічного прогресу і параметри CES функції задовольняють системі рівнянь
В
Однак, трійка визначається цією системою неоднозначно.
Особливість двухфакторной функції Кобба-Дугласа в тому, що для неї множник може трактуватися не тільки як трудосберегающий (нейтральний по Харроду) технічний прогрес, але ще і як капіталосберегающій (нейтральний по Солоу) і як збільшує TFP (нейтральний по Хіксу) прогрес:
.
Тому теорему Узави формулюють ще так: якщо на збалансованій траєкторії частки факторів постійні, то або має місце трудосберегающий технічний прогрес, або діє виробнича функція Кобба-Дугласа.
Стосовно до трехфакторной функції з природними ресурсами пропозиція 2 може бути переформулювати наступним чином.
ПРОПОЗИЦІЯ 4. Нехай збалансована траєкторія така, що. Тоді ця траєкторія може бути побудована при допомоги трехфакторной виробничої функції з трудосберегающим і ресурсозберігаючими технічним прогресом
, (6)
де, G - неокласична функція.
ДОКАЗ. Аналогічно доведенню пропозиції 2, для довільної CRS функції G підберемо числа так, що
.
Визначимо функції
В
Тоді на збалансованої траєкторії
по властивості постійної віддачі від масштабу
за пропозицією 1
в–
Узагальненням теореми Узави для випадку трехфакторной моделі є наступне твердження.
ПРОПОЗИЦІЯ 5. Якщо модель визначена безперервно диференціюється CRS виробничою функцією
В
і на збалансованій траєкторії частки факторів
В
постійні в часі, то (6) - єдино можливе подання виробничої функції на цій траєкторії.
ДОКАЗ. Введемо позначення
В
Зауважимо, що при екзогенно заданих
В
траєкторія
В
