ому дві метрики - Евклідова відстань і метрика Хемінга. Евклідова метрика для прямокутної системи координат визначається формулою:
В
Хеммінгово відстань dH використовується зазвичай для булевих векторів (компоненти яких рівні 0 або 1), і дорівнює числу розрізняються в обох векторах компонент.
Для векторів вводиться поняття норми | | x | | - довжини вектора x. Простір у якому визначена норма векторів називається нормованим. Норма повинна мати такими властивостями:
1. | | x | |> = 0, причому | | x | | = 0 <=> x = o
. | | a . < span align = "justify"> x | | = | a | | | x | |
. | | x + y | | <= | | x | | + | | y | |
Для образів, що складаються з дійсних ознак ми будемо надалі мати справу саме з Евклідовому простором. У разі булевих векторів розмірності n аналізованих простір являє собою безліч вершин n-мірного гіперкуба з Хеммінговой метрикою. Відстань між двома вершинами визначається довжиною найкоротшого з'єднує їх шляху, виміряної вздовж ребер. p align="justify"> Важливим для нейромережевих додатків випадком є ​​безліч векторів, компоненти яких є дійсними числами, що належать відрізку [0,1]. Безліч таких векторів не є лінійним векторним простором, так як їх сума може мати компоненти поза розглянутого відрізка. Однак для пари таких векторів зберігаються поняття скалярного твори і Евклідовому відстані. Другим цікавим прикладом, важливим з практичної точки зору, є безліч векторів однакової довжини (рівній, наприклад, одиниці). Образно кажучи, "кінчики" цих векторів належать гіперсфері одиничного радіуса в n-вимірному просторі. Гіперсфера також не є лінійним простором (зокрема, відсутній нульовий елемент). Для заданої сукупності ознак, що визначають простір векторів, може бути сформований такий мінімальний набір векторів, різною мірою володіють цими ознаками, що на його основі, лінійно комбінуючи вектора з набору, можна сформувати всі можливі інші вектора. Такий набір називається базисом простору. br/>
2.2 Матриці та лінійні перетворення векторів
Так само тому, як було розглянуто вектор - об'єкт, який визначається одним індексом (номером компоненти або ознаки), може бути введений і об'єкт з двома індексами, матриця. Ці два індексу визначають компоненти матриці A ij , розташовувані по рядках і стовпцях, причому перший індекс i визначає номер рядка, а другий j - номер стовпця. Наведемо деякі тотожності для операцій над матрицями. Для всяких A, B і C і одиничної матриці I має місце:
. IA = AI = A
