В
.
Затвердження доведено, тобто в розглянутому випадку перетворення Фур'є є безперервна функція на всій числовій прямій .
Покажемо, що .
Спочатку покажемо, що функція є обмеженою навіть на всій числовій прямій (нам же достатньо довести її обмеженість в деякій околиці точки )
.
А тоді (маємо твір обмеженою функції на нескінченно малу при ). Затвердження доведено.
Нехай відрізок , , є об'єднання кінцевого числа часткових відрізків без спільних внутрішніх точок, тобто
В
і таких, що
(4.3)
Функція (4.3) у розглянутому випадку називається ступінчастою функцією. Використовуючи властивість лінійності перетворення Фур'є і доведені затвердження в пункті 1), показується, що перетворення Фур'є функції (6.3) є безперервна функція на , що має межі, рівні нулю при .
Нехай - будь-яка функція з класу , тобто будь-яка сумовною на числової прямої функція. Можна довести, що сімейство східчастих функцій щільно в просторі , тобто існує послідовність східчастих функцій, що
. (4.4)
А тоді послідовність перетворень Фур'є сходиться рівномірно до перетворення Фур'є , причому члени послідовності безупинні на .
Покажемо, що .
З рівномірної збіжності послідовності до маємо, що:
.
Тоді
, .
За вказаною .
Остаточно отримаємо:
