"justify"> . ?
Сверстка і перетворення Фур'є
Визначення 5.1. Сверткой функцій і , абсолютно інтегровних на числової прямої , називається функція
. (5.1)
Теорема 5.1. Якщо , то:
згортка функцій існує майже для будь-яких і ;
для перетворення Фур'є сверсткі справедлива формула
. (5.2)
Спочатку доведемо, що .
В
.
.
У внутрішньому інтегралі при будь-якому фіксованому вводимо підстановку
.
На підставі слідства з теореми Фубини ([1], стор.318) з існування повторного інтеграла слід існування другого повторного інтеграла і відповідного їм подвійного інтеграла, а також рівність цих інтегралів.
А тоді отримаємо
В
. (5.3)
Права частина оцінки (5.3) є один із зазначених вище повторних інтегралів.
З вказаної оцінки випливає, що , що говорить про існування майже для всіх згортки функцій.
Далі доведемо формулу (7.2).
Якщо , то існує перетворення Фур'є згортки. Тоді
В В
.
Зміна порядку інтегрування законно на підставі зазначеного вище слідства з теореми Фубини (врахувати ще, що ).
Спектр
Спектральна теорія є потужним і гнучким знаряддям дослідження законів природи.
Якщо функція є періодичною з періодом , , а також кусково-гладкою на будь-якому відрізку числової прямої, то формула тригонометричного ряду Фур'є в комплексній формі буде:
, (6.1)
де коефіцієнти Фур'є
. (6.2)
