застосувавши формулу Гріна:
В
Для обчислення інтеграла I 2 перетворимо підінтегральний вираз до виду
В
де du - повний диференціал деякої функції. Отже,
В
де перший інтеграл в правій частині цієї рівності не залежить від вибору шляху інтегрування, що з'єднує точки А і В. Таким чином,
В
На відрізку АВ виконується рівність
В
в силу чого маємо
В
Складаючи отримані значення інтегралів, остаточно знайдемо:
В
Задача 5.
Визначити дві двічі безперервно диференціюються функції так, щоб криволінійний інтеграл
В
для будь-якого замкнутого контуру ? не залежить від постійних ? і ?.
Рішення:
Якщо функції P і Q задовольняють поставленому умові, то має виконуватися рівність
В
для будь-якого замкнутого контуру ?, в силу чого маємо
де
В
Для того, щоб криволінійний інтеграл I 1 по будь-якому замкнутому контуру ? дорівнював нулю, необхідно і достатньо, щоб в одинзв'язної області, обмеженою цим контуром, і на самому контурі виконувалося рівність (яке слід з формули Гріна). Позначивши отримаємо написане умова у вигляді
В
звідки маємо рівність
В
Ліва частина цієї рівності не залежить від ? і ?, оскільки права його частина залежить тільки від х і у, отже,
В
З умови отримуємо рівність справедливо лише в тому випадку, коли
В
двічі безперервно диференціюються функції. Остаточно знаходимо:
В
Задача 6.
Обчислити
В
де ? - простий замкнутий контур, що не проходить через початок координат, пробігаю в позитивному на...
