прямку.
Рішення:
Якщо контур ? не оточують початок координат, то застосувавши формулу Гріна, отримаю:
В
Якщо контур ? оточує початок координат, то застосовувати формулу Гріна не можна, оскільки область D в цьому випадку неодносвязна. У цьому випадку будемо обчислювати інтеграл I безпосередньо.
Позначу через w диференціальне вираз під знаком інтеграла I. Покажемо, що інтеграл
В
не залежить від вибору кривої ?, навколишній початок координат.
Нехай ? 1 і ? 2 - довільні непересічні замкнуті гладкі або кусково-гладкі контури, навколишні початок координат і обмежують просту область При позитивній орієнтації кордону області D напрямку обходу кривих ? 1 і ? 2 будуть протилежні
В
двохзв'язной проста область D не містить особливої вЂ‹вЂ‹точки подинтегрального вираження w , тому, згідно формулі Гріна, маю:
В
звідки треба рівність
В
показує, що інтеграл I не залежить від вибору замкнутої кривої ?, навколишнього початок координат. Взявши окружність
отримаємо:
В
Задача 7.
Знайти за допомогою формули Гріна площу, обмежену еліпсом
В
Рішення:
Скористаємося формулою (наслідок з формули Гріна)
і стандартною параметризацією еліпса
Г =
В
Завдання 8 .
Обчислити криволінійний інтеграл
В
Де Г - верхня півколо
Рішення:
Позначимо доповнимо контур Г до замкнутого контуру L відрікся осі Ох, що з'єднує кінц...
