мований вздовж осі. Множачи обидві частини рівності (7) скалярно на вектор і враховуючи його сталість за величиною і напрямком, отримуємо
В
Але,, тому останнє рівність можна переписати у вигляді:
В
Якщо, то величина буде постійною тоді і тільки тоді, коли
. br/>
Якщо за направлення осі прийняти напрямок осі, то остання умова еквівалентно тотожності:
В
що означає паралельність проекцій швидкостей точок і на площину, перпендикулярну осі, що й потрібно було довести.
3.3 Теорема про зміну кінетичної енергії
Хай крапки системи перемістилися так, що їх радіуси-вектори в інерціальній системі відліку отримали приращении. Знайдемо, як при цьому змінилася кінетична енергія системи. Так як:
В
то для диференціала кінетичної енергії маємо такий вираз:
В
Зважаючи диференціальні рівняння (1), перепишемо останнє рівність у вигляді:
В
Таким чином:
(14)
Остання рівність виражає теорему про зміну кінетичної енергії системи: диференціал кінетичної енергії системи дорівнює елементарної роботі всіх сил системи.
Підкреслимо, що на відміну від двох розглянутих вище основних теорем динаміки, в теоремі про зміну кінетичної енергії йдеться про всіх силах системи: як зовнішніх, так і внутрішніх. Той факт, що сили, з якими взаємодіють дві точки системи, рівні за величиною і протилежно спрямовані, не призводить до рівності нулю роботи внутрішніх сил системи, так як при підрахунку роботи важливі і переміщення точок, а вони у двох взаємодіючих точок не обов'язково однакові. Для твердого тіла робота внутрішніх сил дорівнює нулю, тому для нього рівність (14) приймає більш простий вигляд
(15)
Проінтегрував обидві частини рівності (14) від до, отримаємо інтегральну форму теореми про зміну кінетичної енергії
(16)
т. е. приріст кінетичної енергії системи за кінцевий час дорівнює роботі всіх сил системи, за той же час.
Нехай всі сили системи (зовнішні і внутрішні) потен та їх потенціал не залежить явно від часу. У цьому випадку елементарна робота сил системи буде повним диференціалом
(17)
З (17) і (14) випливає, що тоді.
Сума кінетичної і потенційної енергій називається повною механічною енергією системи. З останнього рівності випливає, що
(18)
т. е. якщо всі сили системи, потенційні і потенціал не залежить від часу, то при русі, системи її повна механічна енергія постійна. Це - закон збереження механічної енергії. Рівність (18) називається інтегралом енергії. p> Слід мати на увазі, що для справедливості закону збереження механічної енергії вимога про те, щоб всі сили системи були потенційними, не обов'язково. Досить зажадати, щоб потенційними були сили, робота яких на дійсному переміщенні системи відмінна від нуля. Наприклад, роб...
