ає наступну часто зустрічається форму:
(8)
Рівняння (8) являє собою теорему про зміну кінетичного моменту для нерухомого центру: похідна за часом від кінетичного моменту системи, щодо нерухомого центру дорівнює головному моменту зовнішніх сил системи відносно цього центру. Цю теорему можна представити в інтегральній формі. Проінтегрував обидві частини рівності (8) від до отримаємо:
(9)
Інтеграл у правій частині цієї формули називається імпульсом моментів зовнішніх сил за час. Таким чином, прирощення вектора кінетичного моменту системи відносно нерухомого центру за кінцевий час дорівнює імпульсу моментів зовнішніх сил щодо цього центру за цей час. p> Якщо система замкнута, то і з рівності (8) слід закон збереження кінетичного моменту: при русі замкнутої системи її кінетичний момент щодо будь-якого нерухомого центру постійний:
(10)
Якщо,, - проекції вектора на відповідні осі координат, то з (10) йдуть три перших інтеграла:
,,,
де () - довільні постійні
Ці інтеграли існують не тільки у випадку замкнутої системи, але і тоді, коли система не замкнута, але для деякого нерухомого центру в усі час руху.
відомстив ще, що якщо в усі час руху, то інтеграл (10) існує не тільки коли центр нерухомий, але і в більш загальному випадку, коли в усі час руху радіуси-вектори і точки і центру мас системи відносно початку координат пов'язані співвідношенням, де скалярна величина і вектор постійні. Дійсно, в цьому випадку і перший доданок у правій частині рівності (7) тотожно дорівнює нулю. Тому при існує інтеграл (10). p> Розглянутий вище випадок нерухомого центру виходить звідси прі. Якщо ж і, то і рівняння (7) прийме вигляд
(11)
звідки випливає, що теорема про зміну кінетичного моменту системи для нерухомого центру і для центру мас мають однаковий вигляд: у лівій частині рівняння варто похідна від кінетичного моменту відносно точки (або), а в правій - головний момент зовнішніх сил щодо цієї точки . Зазначимо, що абсолютний кінетичний момент системи відносно центру мас в лівій частині рівняння (11) можна замінити на рівний йому кінетичний момент системи в її русі щодо центру мас. p> Нехай - деяка незмінна вісь або вісь незмінного напрямку, що проходить через центр мас системи. Для кінетичного моменту системи відносно цієї осі з (8) і (11) слід диференціальне рівняння
(12)
де - головний момент зовнішніх сил щодо осі. Якщо він у весь час руху дорівнює нулю, то маємо перший інтеграл
(13)
Останній висновок допускає узагальнення. Саме, справедливо наступне твердження. Нехай в усі час руху. Тоді для існування першого інтеграла (13) необхідно і достатньо, щоб проекції швидкості центру мас системи і швидкості небудь точки осі і на площину, перпендикулярну цій осі, були у всі час руху паралельні. Дійсно, нехай - одиничний вектор, спря...
