/p>
;.
Так як це рівність справедливо для будь-яких, то воно збігається з (2.3) і, отже, функції і? періодичні.
Припустимо далі, що система фундаментальних рішень систем
(2.4)
нам відома. Позначимо ці функції через,, і, і рішення системи (2.1) будемо шукати методом варіації довільних постійних, вважаючи
,. (2.5)
де і? деякі функції часу, що підлягають визначенню.
Підставимо вирази (2.5) в (2.1). Беручи до уваги, що функції,, і задовольняють системі (2.4), ми отримаємо наступні рівняння для визначення функцій і;
,,
звідки
(2.6)
де і? нові довільні постійні, а? визначник Вронського
.
Постійні і визначаються з початкових умов, при. Так як інтегральні складові у виразах (2.6) при звертається в нуль, то постійні і визначаються з рівнянь
(2.7)
Використовуючи отримані вирази, випишемо тепер умови періодичності (2.2)
(2.8)
Для того щоб система (2.1) допускала періодичні рішення, необхідно і достатньо, щоб функції і задовольняли умовам (2.8).
Розглянемо ці умови для деяких спеціальних випадків, так як це буде грати в подальшому викладі особливу роль.
Спочатку розглянемо той окремий випадок, коли фундаментальні рішення - періодичні функції, Зауважимо, що рівняння в варіаціях, що відповідають ізохоричному системам, тобто системам, період коливань яких не залежить від початкових умов, завжди мають періодичні рішення.
Так як C і D - постійні числа, то в силу періодичності функції і з (2.7), ми отримуємо наступні умови:
(2.7)
Рівності (2.7) дозволяють спростити систему (2.8), яку можна тепер розглядати як систему однорідних алгебраїчних рівнянь щодо інтегралів
.
Перепишемо цю систему в наступному вигляді:
(2.9)
Визначник системи (2.9) є визначник Вронського для функцій. У силу незалежності цих функцій він відмінний від нуля. Таким чином, система (2.9) має тільки тривіальне рішення. Тому
(2.10)
Отже, ми прийшли до наступного результату: якщо фундаментальне рішення системи (2.4) виражається періодичними функціями, то для того, щоб будь-яке рішення системи (2.1) було періодичним необхідно і достатньо, щоб функції і задовольняли умовам (2.10). p> Зараз розглянемо той окремий випадок, коли система (2.1) має вигляд
(2.11)
Система (2.11) зводиться до рівняння коливань математичного маятника під дією періодичної зовнішньої сили
В
де
В
Лінійно незалежні рішення системи (2.11) мають вигляд
(2.12)
Визначник Вронського цих функцій дорівнює одиниці, тому умови (2.10) будуть приведені до такого виду:
(2.13)
Ляпунов періодичн...
