епер, що Т-парна функція?. Повернемося сова до інтеграла (1.11). розглядаючи його як рівняння відносно?, ми отримуємо в околиці точки? = 0 два рішення. Одне з них
(1.21)
інше
(1.21)
Тепер зауважимо, що ліва частина рівняння (1.11) не зміниться, якщо замінимо? на -? і? на? + 2?. Отже, на підставі (1.21) будемо мати
(1.22)
Значення?, певне поруч (1.22), буде коренем рівняння (1.11), що не співпадає з (1.21) (тому, що для малих? з (1.21) випливає? =? + О (? 2), а з ( 1.22)? = -? + О (? 2)). Отже, воно буде визначатися поруч (1.21). p> Порівнюючи (1.21) і (1.22), отримуємо
В
і т.д.
Звідси випливає, що якщо у виразі (1.21) замінити? на -?, а? на? +?, То величина? ухвалить своє значення з протилежним знаком:
. p> Випишемо тепер вираз для періоду Т. На підставі (1.17) маємо
. (1.23)
Зробимо заміну в (1.23) заміну? на -?, а? на? +?. Тоді отримаємо величину
.
Згідно доведеному величини і зберігають свої значення. Отже, те ж саме можна сказати і про функції Х і Y. У той же час, і змінюють свої знаки. Отже, знаменник змінить знак на зворотний, а й чисельник змінить знак на зворотний. Отже,
.
Отже,
,
т. е. період - парна функція величини?.
Таким чином, вище було доведено теорему Ляпунова, а тепер сформулюємо її.
Теорема Ляпунова.
Якщо постійна досить мала, то всі рішення системи рівняння (1.8)? періодичні функції t, причому період? парна функція величин і при прагне до. Рішення системи (1.8) є аналітичними функціями величини c? початкового відхилення змінної x.
Маючи на увазі формулу
вираз періоду можна переписати в наступному вигляді:
(1.24)
Розділ 2.
Умови існування періодичних рішень
. Необхідні і достатні умови періодичності
Розглянемо систему:
(2.1)
Спочатку ми не будемо робити ніяких припущень про природу коефіцієнтів, крім припущення про їх періодичності по.
Нехай і? рішення системи (2.1), що задовольнить наступним даними Коші:
,.
Для того щоб це рішення було періодичним з періодом, необхідно і достатньо, щоб воно задовольняє таким умовам:
,. (2.2)
Очевидно, що умови (2.2) необхідні, оскільки функція називається періодичною, якщо вона задовольняє умовам:
, (2.3)
яке б не було. Умови (2.2) є окремим випадком (2.3) при. Ці умови є так само достатніми. Справді, праві частини системи (2.1)? періодичні функції часу періоду і, отже, вони інваріантні щодо заміни змінного, тоді в силу (2.2) по і ми будемо мати одну і ту ж задачу Коші і, отже,
;
Або <...
