Т] вихідний сигнал дорівнював нулю, необхідно збільшити період повторення цих імпульсів. У межі, при збільшенні тривалості періоду і T??, Всі імпульси підуть вправо і вліво в нескінченність і періодична послідовність імпульсів s n (t) знову стане поодиноким імпульсом s (t).
Запишемо періодичну функцію
В
Можна замінити період проходження імпульсів , тоді
В
Неважко помітити, що при збільшенні періоду проходження імпульсів T гармоніки розташовуються ближче один до одного по частоті (лінійний спектр стає все більш щільним), а загальний рівень спектральних складових стає все менше. У граничному випадку, коли T??, Рівні відстані між спектральними лініями зменшаться настільки, що спектр стане суцільним, а амплітуди окремих спектральних складових виявляться нескінченно малими. При цьому частота проходження імпульсів і перетворюється на d? , дискретна змінна - в миттєву (поточну ) частоту ?, а сума трансформується в інтеграл. Періодична послідовність імпульсів s n (t) стане поодиноким імпульсом s (t), і вираз запишеться у вигляді
В
Інтеграл у дужках є комплексна функція частоти. Позначивши його отримаємо
В
Отримаємо
В
Співвідношення (13) і (14) носять фундаментальний характер в теорії сигналів і визначають відповідно пряме і зворотне перетворення Фур'є. Вони пов'язують між собою речову функцію часу s (t) і комплексну функцію частоти S (?).
Якщо використовувати не кутову частоту ?, а циклічну , то формули (13) і (14) приймають наступний вигляд (відрізняючись лише знаком у показнику експоненти):
В В
Отже, пряме перетворення Фур'є (13) ставить у відповідність сигналом, заданому в часі, його спектральну функцію. При цьому здійснюється перехід з тимчасової області в частотну область. Перетворення Фур'є є взаємно-однозначним, тому подання сигналу в частотній області (спектральна функція) містить рівно стільки ж інформації, скільки і вихідний сигнал, заданий у тимчасовій області. Принципово важливо, що спектральна щільність - комплексна функція частоти, одночасно несе інформацію, як про амплітуду, так і про фазу елементарних гармонік. p align="justify"> Оскільки інтеграл Фур'є (13) містить безперервну послідовність спектральних складових аналізованого сигналу з нескінченно малими амплітудами, то функцію S (?
