. З цією метою в першій своїй роботі з математичної логіки "Обчислення понять "він визначив безліч як обсяг поняття і таким чином отримав можливість визначити і число через обсяг поняття. Таке визначення числа він сформулював в "Підставах арифметики", книзі, яка в той час залишилася непоміченою, але згодом здобула широку популярність. Тут Фреге визначає число, що належить поняттю, як обсяг цього поняття. Два поняття вважаються равночисленного, якщо множини, виражають їх обсяги, можна поставити під взаімооднозначном відповідність один з одним. Так, наприклад, поняття "вершина трикутника" равночисленного поняттю "Сторона трикутника", і кожному з них належить одне і те ж число 3, що є обсягом поняття "вершина трикутника". p> Якщо Лейбніц тільки намітив програму відомості математики до логіки, то Г. Фреге зробив спробу зведення досить значної частини арифметики до логіки, тобто справив деяку математизацію логіки. Символічні позначення, прийняті ним, дуже громіздкі і тому мало хто повністю прочитав його "Основні закони арифметики". Сам Фреге особливо й не розраховував на те, що його твір знайде читачів. Проте праця Фреге відіграв значну роль в історії обгрунтування математики в першій половині XX в. У цьому творі Фреге писав: "У моїх" Підставах арифметики "(1884) я намагався навести аргументи на користь того, що арифметика є частина логіки і не повинна запозичити ні у досвіду, ні у споглядання ніяких основ докази. У цій книзі (йдеться про "Основні законах арифметики". - А. Г.) це має бути підтверджено тим, що найпростіші закони арифметики тут виводяться тільки за допомогою логічних засобів ". Отже, Фреге вважав, що він логічно визначив число і точно перерахував логічні правила, за допомогою яких можна визначати нові поняття і доводити теореми, і що таким чином він і зробив арифметику частиною логіки. Фреге не підозрював, однак, що побудована ним система не тільки не являла собою логічного обгрунтування змістовної арифметики, але була навіть суперечливою. Це протиріччя в системі Фреге виявив Бертран Рассел. p> У післямові до "Основним законам арифметики" Фреге писав з цього приводу: "Навряд Чи є що-небудь більш небажане для автора наукового твору, чим виявлення по завершенні його роботи, що одна з основ її будівлі виявляється похитнулася. У такий стан я потрапив, отримавши лист від пана Бертрана Рассела, коли друкування цієї книги наближалося до кінця ". Протиріччям, яке виявив Рассел в системі Фреге, був знаменитий парадокс Рассела про безліч всіх нормальних множин. p> Причину своєї невдачі Фреге бачив у використаному їм припущенні, що у всякого поняття Тобто обсяг в сенсі постійного, суворо фіксованого безлічі, що не містить в собі ніякої невизначеності або розпливчастості. Адже саме через цей обсяг він і визначив основне поняття математики: поняття числа.
Слідом за Г. Фреге чергову спробу зведення математики до логіки зробив видатний англійська філософ і логік Бертран Рассел (1872 - 1970). Він також автор ряду робіт з галузі історії, літератури, педагогіки, естетики, природознавства, соціології та ін Праці Рассела в галузі математичної логіки зробили великий вплив на її розвиток. Разом з англійським логіком і математиком А. Уайтхед Рассел розробив оригінальну систему символічної логіки у фундаментальному тритомної праці "Principia Mathematica". Висуваючи ідею про зведення математики до логіки, Рассел вважає, що якщо гіпотеза відноситься не до однієї або кільком приватним речам, але до будь-якого предмету, то такі висновки складають математику. Таким чином, він визначає математику як доктрину, в якій ми ніколи не знаємо, про що ми говоримо, й не знаємо, чи правильно те, що ми говоримо.
Рассел ділить математику на чисту і прикладну. Чиста математика, на його думку, є сукупність формальних висновків, незалежних від якого б то не було змісту, тобто це клас висловлювань, які виражені виключно в термінах змінних і тільки логічних констант. Рассел не тільки цілком упевнений в тому, що йому вдалося звести математику до такого роду пропозиціям, але і робить з цього твердження висновок про існування апріорного знання, вважає, що "математичне пізнання потребує в посилках, що не базувалися б на даних почуття ". Звідси видно, що Рассел розриває дві взаємозалежні ступеня пізнання - чуттєву і раціональну. Він відкидає в математиці першу ступінь пізнання і переходить відразу до абстрактного мисленню, а це і є априоризм, прагнення показати, що математичні істини - Істини розуму, ніяк не пов'язані з досвідом, з чуттєвим сприйняттям світу. p> Від чистої математики Рассел відрізняє прикладну математику, яка полягає у застосуванні формальних висновків до матеріальних даними.
Для того щоб показати, що чиста математика зводиться до логіки, Рассел бере систему аксіом арифметики, сформульовану Пеано, і намагається їх логічно довести, а через три невизначуваних у Пеано поняття: "нуль", "число", "наступне за" - визначити в термінах своєї логічної системи. Всі натурал...
