Відстань між спектральними складовими: перетворюється на нескінченно малу величину, і її представляють у вигляді «dw». Послідовність спектральних складових з частотами kw стає суцільною (Континіумом) з поточним параметром w.
Оскільки спектральні складові S ° (kw) між ними рировать ними при роботі з реальними сигналами незручно, вводять нове поняття - спектральна щільність або спектральна характеристика:
(1.16)
Хоча інтервал інтегрування заданий у нескінченних межах, але реально сигнал U (t) відмінний від нуля тільки в інтервалі t1 .. t2, та інтегрування необхідно проводити в цьому інтервалі. Аналогічно як і з періодичними сигналами, зворотне перетворення Фур'є для неперіодичних сигналів має вигляд:
(1.17)
Порівняння формул для обвідної дискретного лінійного спектра періодичного сигналу (1.3) і суцільний спектральної характеристики одиночного імпульсу (1.16) вказує на відмінність тільки в постійному множнику. Аналогічно з періодичними сигналами, можна подати комплексну функцію S ° (w) в показовому або алгебраїчному вигляді:
(1.18)
де: (1.19)
(1.20)
Справедливі також формули (1.9), (1.10) переходу від алгебраїчної форми подання комплексних чисел - в показову:
(1.21)
(1.22)
Визначимо спектральну щільність одиночного прямокутного імпульсу (рис. 1.12):
U (t)=Uo при, U (t)=0 при інших t.
Рис. 1.12
(1.23)
Графік спектральної щільності одиночного прямокутного імпульсу (рис. 1.13) збігається з обвідної спектра періодичного сигналу.
Рис. 1.13 - Модуль спектральної щільності одиночного імпульсу
Рис. 1.14 - Фаза спектральної щільності одиночного імпульсу
З формули (1.23) можна зробити висновок про те, що зі зменшенням тривалості одиночного імпульсу «r» розширюється головний пелюсток спектральної характеристики і навпаки: при збільшенні тривалості імпульсу ширина спектральної характеристики звужується.
Відзначимо цікаву особливість прямого (1.16) і зворотного перетворення Фур'є (1.17). Їх формули відрізняються постійним множником і знаком фази. Тому можна говорити про симетрії прямого і зворотного перетворення Фур'є.
Так, сигналу з модулем спектральної характеристики S (w) у вигляді прямокутника буде відповідати одиночний імпульс у вигляді графіка sin (x) / x.
Використовуючи математичні перетворення, можна показати, що імпульсу у вигляді експоненціального дзвіночка відповідає спектральна характеристика у формі експоненціального дзвіночка. Чим коротше тривалість імпульсу, тим ширше спектр, і навпаки.
Для перетворення Лапласа, як і для перетворення Фур'є (яке є окремим випадком перетворення Лапласа) справедливі наступні співвідношення:
якщо продифференцировать вихідну функцію, то це відповідає множенню її перетвореної функції на оператор (для перетворення Лапласа - «p», для перетворення Фур'є - «jw»);
аналогічно: інтегруванню вихідної функції відповідає поділ перетвореної (відображеної) функції на оператор (для перетворення Фур'є - «jw»),
т.к. перетворення Лапласа і Фур'є є л...
