/p>
Тут E=. Такого виду функція називається логістичної , а її графік - логістичної кривої .
Якщо тепер врахувати, що х (0)= х 0 і покласти х 0= N / ?, де? > 0, то можна знайти значення константи Е . Логістічеcкая функція набуде вигляду:
.
На рис.2 наведені приклади логістичних кривих, отриманих при різних значеннях? . Тут величина N умовно приймалася за 1, а величина k бралася рівною 0,5.
Завдання 4.3 Динамічна модель Кейнса. [7]
Розглянемо найпростішу балансову модель, що включає в себе основні компоненти динаміки витратної і прибуткової частин економіки. Нехай Y ( t ), E (t), S (t), I ( t) - відповідно національний дохід [см.словарь [5]] , державні витрати, споживання та інвестиції. Всі ці величини розглядаються як функції часу t. Тоді справедливі наступні співвідношення: (а)
де a (t) - коефіцієнт схильності до споживання (0 << i align="justify"> а ( t ) <1), b (t) - автономне (кінцеве) споживання, k ( t) - норма акселерації. Всі функції, що входять в рівняння (а), позитивні.
Пояснимо сенс рівнянь (а). Сума всіх витрат повинна бути рівною національному доходу - цей баланс відображений у першому рівнянні. Загальне споживання складається з внутрішнього споживання деякої частини національного доходу в народному господарстві та кінцевого споживання - ці складові показані в другому рівнянні. Нарешті, розмір інвестицій не може бути довільним: він визначається добутком норми акселерації, величина якої характеризується рівнем технології та інфраструктури даної держави, на граничний національний дохід.
Будемо вважати, що функції a (t), b (t), k (t) і E ( t) задані - вони є характеристиками функціонування і еволюції даної держави. Потрібно знайти динаміку національного доходу, або Y як функцію часу t. Підставами вирази для S ( t) з другого рівняння і для I (t) з третього рівняння в перше рівняння. Після приведення подібних отримуємо диференціальне неоднорідне лінійне рівняння першого порядку для функції Y (t) :
. (Б)
Проаналізуємо більш простий випадок, вважаючи основні параметри завдання а , b і k постійними числами. Тоді рівняння (б) спрощується до лінійного диференціального рівняння першого порядку з постійними коефіцієнтами:
. (В)
Як відомо, загальне рішення неоднорідного рівняння є сума будь-якого його приватного рішення і спільного рішення відповідного однорідного рівняння. В якості приватного рішення рівняння (в) візьмемо так зване
