тину доходу
[см. словник [3]] , отримаємо
I (t)=mY (t)=mpy (t), (б)
де коефіцієнт пропорційності m (так звана норма інвестицій) - постійна величина, 0 m 1.
Підставляючи останній вираз (б) для I (t) в (а), приходимо до рівняння
, (в)
де k=mpl.
Отримане диференціальне рівняння - це рівняння з відокремлюваними змінними. Вирішуючи його, приходимо до функції y (t)= .
На практиці умова насичуваності ринку може бути прийняте тільки для досить вузького часового інтервалу. У загальному випадку крива попиту, тобто залежність ціни р реалізованої продукції від її обсягу y є спадною функцією p=p (y) (із збільшенням обсягу виробленої продукції її ціна падає в результаті насичення ринку). Тому модель зростання в умовах конкурентного ринку прийме вигляд
, (г)
залишаючись як і раніше рівнянням із перемінними.
Так як всі співмножники в правій частині рівняння (г) є позитивними, то, і це рівняння описує зростаючу функцію y (t) на опуклість природно використовується поняття еластичності функції. Дійсно, з (г) випливає, що
.
Нагадаємо, що еластичність попиту [см.словарь [4]] (щодо ціни) визначається формулою. Тоді вираз для можна записати у вигляді
і умова рівносильно рівності.
Таким чином, якщо попит еластичний, тобто або, то і функція y (t) опукла вниз; у разі, якщо попит нееластичний, тобто , Або - 1, то і функція y (t) опукла вгору.
Завдання 4.2 Про ефективність реклами [6] .
Нехай торговою фірмою реалізується деяка продукція, про яку в момент часу t=0 з реклами отримали інформацію x 0 людей із загального числа N потенційних покупців. Далі ця інформація поширюється за допомогою спілкування людей, і в момент часу t> 0 число знають про продукцію людей одно x (t). Зробимо припущення, що швидкість росту числа знаючих про продукцію пропорційна як числу обізнаних в даний момент покупців, так і до числа необізнаних покупців. Це призводить до рівняння
.
Тут k - позитивний коефіцієнт пропорційності. З рівняння отримуємо рівність диференціалів двох функцій аргументу t :
.
Інтегруючи ліву і праву частини, знаходимо спільне рішення диференціального рівняння:
.
У спільне рішення входить невизначена константа З . Вважаючи NC=D , отримаємо рівність:
,
з якого визначимо функцію x ( t ):
. <...
