добуток цих векторів дорівнює сумі попарних творів їх відповідних координат, тобто
аb =X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2
На цьому ми завершимо невеликий огляд курсу аналітичної геометрії в частині операцій над вільними векторами.
1.2 Лінійні простору: поняття, приклади, властивості
У даний частини розглянемо безлічі об'єктів будь-якої природи, для елементів яких будь-яким способом (причому, байдуже яким) визначені операція додавання елементів і операція множення елемента на дійсне число, причому зазначені операції мають ті ж властивості, що і відповідні операції над геометричними векторами. Такі безлічі називають лінійними (або векторними) просторами.
Визначення. Безліч V елементів x, y, z, ... будь-якої природи називається лінійним (або векторним, або аффінним) простором, якщо виконані наступні три вимоги.
1. Мається правило, за допомогою якого будь-яким двом елементам x і y множини V ставиться у відповідність третій елемент z цієї множини, званий сумою елементів x і y і позначається символом z=x + y.
. Мається правило, за допомогою якого будь-якого елементу x безлічі V і будь-якому вещественному числу? ставиться у відповідність елемент u цієї множини, званий твором елемента x на число? і позначається символом u =? x або u=x? .
. Зазначені два правила підпорядковані наступним восьми аксіомам
1. x + y=y + x (додавання коммутативно)
. (X + y) + z=x + (y + z) (додавання асоціативно)
. Існує нульовий елемент 0 такий, що x +0=x для будь-якого елемента x (особлива роль нульового елементу)
. Для кожного елемента x існує протилежний (іншими словами симетричний) елемент x `такий, що x + x`=0
5. 1? x=x для будь-якого елемента x (особлива роль числового множника 1)
6. ? (?x)=(? ?) x (сочетательное відносного числового множника властивість)
7. (? + ?) x =? x + ?x (розподільчий щодо суми числових множників властивість)
8. ? (X + y) =? X +? Y (розподільчий щодо суми елементів властивість)
Слід підкреслити, що при введенні поняття лінійного простору абстрагуються не лише від природи досліджуваних об'єктів, а й від конкретного виду правил освіти суми елементів і твори елемента на число (важливо лише, щоб ці правила задовольняли восьми аксіомам, сформульованим вище). Перші чотири аксіоми встановлюють властивості операції додавання, і їх можна було б висловити коротше, сказавши, що щодо цієї операції елементи утворюють абелеву групу.
Якщо природа досліджуваних об'єктів і вид правил освіти суми елементів і твори елемента на число вказані, то таке лінійне простір можна назвати конкретним. Далі наведено приклади конкретних лінійних просторів.
Приклад 1. Множини всіх вільних векторів у тривимірному просторі (В 3), на площині (В 2) і на прямій (В 1) з визначеними в курсі аналітичної геометрії операціями додавання і множення на число є лінійними просторами.
Приклад 2. Множина {x} всіх позитивних дійсних чисел. Суму двох елементів визначимо як добуток дійсних чисел x і y (розуміється в звичайному для дійсних чисел сенсі). Твір елемента x множини {x} на дійсне число? визначимо як зведення положит...
