ельность дійсного числа x в ступінь?. Нульовим елементом множини {x} буде дійсне число 1, а протилежним (для даного елемента x) елементом буде дійсне число 1 / x.
Приклад 3. Арифметичне n-мірне векторний простір, де під вектором розуміється кортеж з n дійсних чисел А n. Елемент простору А n позначимо x=(x 1, x 2, ... xn), речові числа xi, i=1,2, ... n називають координатами вектора x. Часто безліч А n називають n-мірним координатним простором. Операції додавання елементів множини А n і множення цих елементів на речові числа визначаються правилами:
(x 1, x 2, ..., xn) + (y 1, y 2, ..., yn)=(x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., xn + yn )
? (X 1, x 2, ..., xn)=(? X 1,? X 2, ...,? Xn)
нульовим елементом А n є нульовий вектор 0=(0, 0, ..., 0)
протилежним елементом x=(x 1, x 2, ..., xn) є елемент (-x 1, - x 2, ..., - xn)
Приклад 4. Безліч С [a, b] всіх функцій x=x (t), визначених і неперервних на сегменті a? t? b. Операції додавання таких функцій і множення на дійсне число визначаються звичайними правилами математичного аналізу.
Приклад 5. Безліч {P n (t)} всіх алгебраїчних многочленів ступеня, що не перевищує натурального числа n, з операціями додавання і множення на дійсне число певними такими ж правилами, як для функцій. Можна помітити, що на сегменті a? T? B безліч {P n (t)} є підмножиною С [a, b], зазначеного у прикладі 4.
Приклад 6. Безліч всіх дійсних (або комплексних) матриць даного порядку m? n щодо операції додавання матриць і множення матриці на число.
Слід також відзначити те, що у сформульованому вище визначенні лінійного простору числа?, ?, ... бралися з безлічі дійсних чисел. Тому певне таким чином простір називають речовим лінійним простором. При більш широкому підході можна брати?, ?, ... з безлічі комплексних чисел. Це призведе до введення поняття комплексного лінійного простору.
Елементи довільного лінійного простору прийнято називати векторами. При цьому ще раз підкреслимо те, що вживання терміна «вектор» у більш вузькому сенсі (так як ми робили це в § 1) не призводить до непорозумінь. Навпаки, волаючи до сформованим геометричним уявленням, даний образ дозволяє усвідомити, і навіть передбачити ряд результатів, справедливих для лінійних просторів довільної природи. Далі при викладі, беручи до уваги формулювання теми курсової роботи, ми будемо користуватися як поняттям «вектор» і позначати елементи векторних просторів як а, b, c і т.д., так і поняттям елемент і позначати їх як x, y, z і т.д.
З аксіом 1-8 в якості логічних наслідків можна отримати ряд тверджень справедливих для довільних векторних просторів. Так, в довільному лінійному просторі існує єдиний нульовий елемент і для кожного елемента х існує єдиний протилежний елемент. При цьому нульовий вектор 0 дорівнює добутку довільного елемента x на дійсне число 0. Для кожного елемента x протилежний елемент дорівнює добутку цього елемента x на дійсне число - 1.
За аналогією з положеннями аналітичної геометрії введемо поняття лінійної залежності елементів довільного лінійного простору. Вираз виду
? x +? y + ... +? z, де?,?, ...,?- Довільні дійсні числа, називають лінійною комбінацією елементів x, y, ... z простору V.
