і
b . При цьому будь-яка трійка некомпланарних векторів утворює базис в просторі, будь-яка пара лежать в цій площині неколінеарних векторів
а і
b утворює базис на цій площині.
Надалі для визначеності будемо розглядати базис в просторі. Отже, нехай а , b , з - довільний базис в просторі, тобто довільна трійка некомпланарних векторів. Тоді (за визначенням базису) для будь-якого вектора d знайдуться такі дійсні числа, що буде справедливо рівність: d =
Це рівність прийнято називати розкладанням вектора по базису, а числа? 1,? 2,? 3 - координатами вектора щодо базису. Розкладання по базису - єдино: це означає те, що координати кожного вектора щодо базису визначаються однозначно.
Основне значення базису полягає в тому, що лінійні операції над векторами при завданні базису стають звичайними лінійними операціями над числами - координатами цих векторів. Так, при складанні двох векторів їх координати складаються. При множенні вектора на будь-яке число всі його координати множаться на це число.
Аффінниє координати в просторі визначаються завданням базису і деякої точки О, званої початком координат. Аффіннимі координатами будь-якої точки М називають координати вектора ОМ щодо базису а , b , з . Декартові прямокутні координати є окремим випадком афінних координат, відповідним трійці взаємно ортогональних і одиничних базисних векторів.
Якщо позначити буквами А `і В` підстави перпендикулярів, опущених на довільну вісь u з кінців вектора a =АВ, то проекцією вектора а на вісь u називається величина А `В` спрямованого відрізка А `В`. Проекція вектора а на вісь дорівнює довжині вектора а , помноженої на косинус кута нахилу вектора а до осі u. Декартові прямокутні координати Х, Y і Z вектора дорівнюють проекціям цього вектора на осі Оx, Oy, Oz відповідно (одиничні вектора, відкладені на осях від початку координат в позитивному напрямку називають також трійкою координатних ортов i , j , k) .
Скалярним твором двох векторів називається число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Відповідно до визначення проекції вектора можна сформулювати інше еквівалентне визначення скалярного твору. Скалярним твором двох векторів називається число, рівне добутку довжини одного з цих векторів на проекцію іншого вектора на вісь, обумовлену першим із зазначених векторів.
Необхідною і достатньою умовою ортогональності двох векторів є рівність нулю їх скалярного твору. Два ненульових вектора а і b складають гострий (тупий) кут тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток позитивно (негативно). Скалярний добуток векторів володіє наступними чотирма алгебраїчними властивостями:
? аb = bа (переместітельності властивість)
? (? А ) b =? ( Аb ) (сочетательное щодо числового множника властивість)
? ( А + b ) з = ас + bс (розподільчий щодо суми векторів властивість)
? аа > 0, якщо а ненульовий вектор, і аа =0, якщо а - нульовий вектор.
Якщо два вектори а і b визначені своїми декартовими прямокутними координатами а ={X1, Y1, Z1} і b ={X2, Y2, Z2}, то скалярний...
