вийняти з урни чорний куля?
Рішення. Тут m=4, n=12 і Р (A)=4/12=1/3.
Приклад. При перевезенні ящика, в якому містилися 21 стандартна і 10 нестандартних деталей, загублена одна деталь, причому невідомо яка. Навмання витягнута (після перевезення) з ящика деталь виявилася стандартною. Знайти ймовірність того, що була загублена: а) стандартна деталь; б) нестандартна деталь.
Рішення. а) Витягнута стандартна деталь, очевидно, не могла бути втрачена; могла бути втрачена будь-яка з інших 30 деталей (21 + 10-1=30), причому серед них було 20 стандартних (21-1=20). Імовірність того, що було втрачено стандартна деталь, Р=20/30=2/3.
б) Серед 30 деталей, кожна з яких могла бути втрачена, було 10 нестандартних. Імовірність того, що втрачена нестандартна деталь, Р=10/30=1/3.
Безпосередній підрахунок випадків, благоприятствующих цієї події, може виявитися скрутним. Тому для визначення ймовірності події буває вигідно представити дану подію у вигляді комбінації деяких інших, більш простих подій. Наведемо теореми, за допомогою яких можна за ймовірностями одних випадкових подій обраховувати ймовірності інших випадкових подій, будь - яким чином пов'язаних з першими.
Теорема 1. Нехай А і В - два несумісних події. Тоді ймовірність того, що здійсниться хоча б одне з цих двох подій, дорівнює сумі їх ймовірностей:
Приклад. Стрілець стріляє в мішень. Імовірність вибити 10 очок дорівнює 0,3, а ймовірність вибити 9 очок дорівнює 0,6. Чому дорівнює ймовірність вибити щонайменше 9 очок?
Рішення. Подія А «вибити щонайменше 9 очок» є об'єднанням подій В - «вибити 10 очок» і С - «вибити 9 очок». При цьому події В і С несумісні, оскільки не можна одним пострілом вибити відразу і 9, і 10 очок.
Тому за теоремою 1 маємо:
(A)=P (B) + P (C)=0,3 +0,6=0.9.
Теорема 2. Для будь-якої події А маємо:
Приклад. Береться навмання тризначне натуральне число від 100 до 999. Яка ймовірність того, що хоча б дві його цифри збігаються?
Рішення. Досвід тут полягає в тому, що навмання вибирається натуральне число від 100 до 999 і дивляться, чи є у нього збігаються цифри. Події «взяли навмання число N» (N=100, 101, ..., 999) рівноймовірні (в цьому сенс слова «навмання») і утворюють безліч фіналів цього досвіду. Число фіналів n=900. Нас цікавить подія А - «у обраного числа збігаються хоча б дві цифри». Простіше, однак, підрахувати ймовірність протилежної події - «у обраного числа всі цифри різні». Кожне таке число є розміщення без повторень з 10 цифр по 3, що не має першим елементом нуль. Отже, (з числа всіх Трьохелементний розміщень без повторень треба відняти число тих, у яких на першому місці стоїть нуль) і. Тоді по теоремі 2: P (A)=1-P ()=0,28.
Приклад. В урні, що містить n куль білого, червоного і чорного кольору, знаходиться k білих куль і L червоних. Яка ймовірність вийняти кулю не чорного кольору?
Рішення. Якщо подія А полягає в появі білого, а подія В - червоної кулі, то поява кулі не чорного кольору означає поява чи білого, або червоного кулі. Так як за визначенням ймовірності
(A)=k / n, P ...
