члена, ступінь якого дорівнює, наприклад, 5, то без допомоги чисельних методів не обійтися. Для знаходження коренів многочлена існує кілька чисельних методів, але я зупинюся тільки на одному методі. А саме на методі хорд.
ПРАВИЛО пропорційна частина
Якщо проміжок [a, b] досить малий, то з відомим наближенням можна вважати, що - при вимірюванні x в його межах - приріст функції f (x) пропорційно приросту аргументу. Позначаючи через корінь функції, маємо, зокрема,
=,
звідки, з урахуванням того, що
f (= 0,=a-
Таким чином, за наближене значення кореня тут приймається число x1=a-. Це вираз, очевидно, можна представити і в такій формі: x1=b-. Викладене правило отримання наближеного значення кореня і називається правилом пропорційності частин. (Див. [1]).
ГЕОМЕТРИЧНЕ ОПИС МЕТОДУ Хорда
Правило пропорційності частин допускає просте геометричне тлумачення. Розглянемо малюнок:
Замінимо дугу MM / кривої - хордою MM / . Рівняння останньої може бути написано, наприклад у вигляді:
y-f (a)= (x-a). (3)
Наше правило, по суті, зводиться до того, що замість точки А перетину кривої з віссю x визначається точка D перетину з віссю x цієї хорди.
Дійсно, думаючи в (3) рівнянні y=0 , а для абсциси x 1 точки D отримуємо саме вираз виду:
x 1 =b-
У зв'язку з цим, правило пропорційних частин називають також методом хорд. Ну а тепер звернемося до дослідження питання про становище точки x1 по відношенню до кореня. Безпосередньо ясно, що точка x1 лежить між a і b , але з якого боку від? З'ясуємо це.
Так у випадках I і II (III і IV) ми маємо справу з опуклою вниз (вгору) функцією, то крива MM / лежить під (над) хордою MM / , тобто
f (x) f (a) + (xa) (a (4)
Вважаючи тут x=x 1 , безпосередньо отримуємо f ( x 1 ) 0, так що f ( x 1 ) завжди має знак протилежний знаку f / / (x) . Звідси, нарешті, укладаємо, що у випадках I і IV значення x 1 лежить між a і, у випадках ж II і III - між і b .
Обмежуючись випадками I і IV, застосуємо знову наше правило, на цей раз до проміжку [х 1 , b], замінюючи в ( 2) а на x 1 отримаємо нове наближене значення кореня:
x 2 =x 1 - ,
міститься, по доведеному, між х 1 і Цей процес можна продовжувати невизначено і побудувати послідовність все зростаючих наближених значень
a<x1<x2<…<xn<xn+1<…<.
При цьому будь-які два послідовні значення х п і х п +1 пов'язані формулою, аналогічною (2 ),
x n +1 =x n - (5)
Покажемо, що, зі зростан...
