ням п, х п Справді, монотонно зростаюча, але обмежена (наприклад, числом) змінна х п повинна прагнути до деякого кінцевого межі. Якщо перейти до межі у рівності (5), використовуючи при цьому безперервність функції f (x), то отримаємо, що
, звідки f ( )=0.
Так як інших коренів рівняння (1), крім, у проміжку [а, b] немає, то=*).
Малюнок ілюструє поступове наближення точок D 1, D 2 , . .. перетину послідовних хорд з віссю х до шуканої точці А. Легко зрозуміти, що у випадках II або III повторне застосування правила призведе до послідовності відбувають наближених значень b> x 1 > x 2 > ...> x n > x n +1 > ...> прагнуть до кореня справа. Таким чином, у всіх випадках, застосувавши достатнє число раз вказане вище правило, можна обчислити корінь з будь-яким ступенем точності. При цьому, втім, залишається відкритим питання, як оцінити точність вже обчисленого наближеного значення х п .
Для вирішення його застосуємо до різниці f (x n ) - f ( ) формулу кінцевих збільшень:
f (x n )=f (x n )-f () =(x n - ) f / (c) () c x n ) .
Звідси x n - ;
якщо позначити через т найменше значення | f / (x) | в розглянутому проміжку (яке можна раз назавжди обчислити наперед), то отримаємо оцінку:
| x n - | . (6)
Так по самій величині f (x n ) виявляється можливим судити про близькість х п до кореня!
ПРИКЛАДИ. РІЧНИЙ РАХУНОК
Розглянемо приклади, що підтверджують метод хорд (див. [1,9]
Приклад 1.
Рівняння х 3 - 2х 2 - 4х - 7=0 має корінь між 3 і 4, бо, якщо через f (x) позначити ліву його частину f (3)=- 10 <0, f (4)=9> 0.
Поставимо собі завданням обчислити цей корінь з точністю до 0,01. У проміжку [3, 4] обидві похідні
f / (x)=3x 2 - 4x - 4 і f / / (x )=6x - 4
зберігають знак плюс (випадок I); найменше значення першої з них буде m=11. Маємо:
x1=3 -=3 +=3 +0,52 ...;
округляючи, покладемо х1=3,52. Так як f (3,52)=- 2,246592, то, за нерівністю (6), необхідної точності ще немає. Продовжуємо:
x2=3,52 -=3,52 +=3,52 +0,09 ...
або, округляючи, х2=3,61.
Обчисливши f (3,61)=- 0,458319 і користуючись нерівністю (6), знову бачимо, що мета ще недосягнутого. Нарешті,
x3=3,61 -=3,61 +=3,61 +0,0188 ...
Округляючи, покладемо х3=3,63. Так як ми округлили «у бік кореня», то могли і перескочити через нього; що цього не сталося, видно по знаку числа f (3,63)=- 0,041653. Цього разу, за нерівністю (6),
| x3-|=- x3 < < 0,004
...
