Лобачевського. *. Нехай а - довільна пряма, а A - точка, что НЕ лежить на Цій прямій. Тоді в площіні, візначуваній цяткою А і прямій а, існує НЕ менше двох прямих, что проходять через точку А і что НЕ перетінають пряму а.
З аксіомі V * безпосередно виходим, что если дані довільна пряма а і точка А, что НЕ лежить на ній, то існує Нескінченна безліч прямих, что проходять через точку А і что НЕ перетінають пряму а. Насправді, по аксіомі V * існують две Прямі, Які позначімо через b и з, проходять через точку А і что НЕ перетінають пряму а (малий. 1). Прямі b и з утворюють две парі вертикальних кутів, Які на малюнку 2 позначені цифрами 1, 2 і 3, 4.Пряма а не перетінає Прямі b и з, того усі ее точки належати Внутрішній області одного з чотірьох кутів 1, 2, 3, 4, например Внутрішній області кута 1. Тоді, очевидно, будь-яка пряма, что проходити через точку А і что лежить усередіні вертикальних кутів 3 і 4, що не перетінає пряму а (например, Прямі L и d на малий. 1).
Умовімося вважаті, что усі Прямі, что розглядаються нами, є спрямованостей прямими. Тому ми їх позначатімемо двома буквами, например UV, вважаючі, что точка U передує точці V. Передбачається такоже, что точки U и V вибрані так, что точки, что розглядаються нами, на Цій прямій лежати между точками U и V.
. Введемо Наступний визначення. Пряма АВ назівається паралельної прямої CD, если ЦІ Прямі НЕ мают Загально точок І, Які б НЕ були точки Р і Q, что лежати відповідно на прямих АВ и CD, будь-який Внутрішній луч1 кута QPB перетінає промінь QD (малий. 2). Если пряма АВ паралельна прямій CD, то пишуть так: AB || CD.
Має місце наступна ознака паралельності прямих.
Теорема 1. Если Прямі АВ и CD НЕ мают Загально точок и існують точки Р і Q, Такі, что Р АВ и Q CD, и будь-який Внутрішній промінь кута QPB перетінає промінь QD, то AB || CD.
Для доведення теореми й достатньо Встановити, что, Які б НЕ були точки Р и Q raquo ;, лежати відповідно на прямих АВ и CD, будь-який Внутрішній промінь h кута Q P B перетінає промінь Q D. Можливі три випадки: точка Р співпадає з точкою Р; б) точка Р Належить Променю РА; в) точка Р Належить Променю РВ.
Розглянемо Перші дві випадки
а) Точка Р співпадає з точкою Р. Если Q - Точка світівші QC, то Q P B є про єднанням кутів Q PQ и QPB, пій Цьом промінь h або лежить усередіні кута Q P Q, або співпадає з Променю PQ, або лежить усередіні кута QPB (малий. 3 а). У Першому и в іншому випадка промінь h перетінає відрізок Q Q, тому перетінає и промінь Q Q. У третини випадка промінь h по умові теореми перетінає промінь QD І, отже, промінь Q'D.
Если Q - Точка променя QD, то кут Q P B є Частинами кута QPB (малий. 3, б). Тому промінь h є внутрішнім Променю кута QPB и по умові теореми перетінає промінь QD. Точка Перетин є точкою променя Q D, оскількі h не проходити усередіні кута QPQ и тому не перетінає відрізок QQ .
б) Точка Р Належить Променю РА. Промінь h лежить усередіні кута Q P P, тому h перетінає відрізок PQ в деякій точці М (малий. 4).
Відкладемо від променя РВ в напівплощіну, містячу пряму CD, кут ВРМ laquo ;, Рівний куту РР М. Оскількі BPQ - Зовнішній кут трикутника PP Q laquo ;, ті PP Q lt; LBPQ raquo ;, того РР М lt; BPQ raquo ;. Звідсі вітікає, что РМ - Внутрішній промінь кута BPQ raquo ;. Отже, по доведенню (див. Випадок а)) цею промінь перетінає промінь Q D в деякій точці M (малий. 4). Пряма Р М перетінає сторону PQ трикутника PQ M и не перетінає сторону РМ (оскількі ВРМ1=BP M), тому по аксіомі Паша пряма Р М перетінає відрізок Q М 1. Таким чином, промінь h перетінає промінь Q D.
Рис. 4
2.4 Теорема про Існування паралельні прямі
неевклідовій геометрія паралельні прямі
Теорема 2. Нехай АВ - довільна спрямована пряма, а М - точка, что НЕ лежить на ній. Тоді в площіні МАВ існує один и только одна пряма CD, что проходити через точку М и паралельна прямій АВ, т. Е. CD || AB.
Рис. 5
Рис. 6
. Розглянемо перпендикуляр MN, проведень з точки М до прямої АВ, и пряму MP, перпендикулярну до прямої MN (малий. 5). Мі пріпускаємо, что точки Р і В лежати по одну сторону від прямої MN. За лемі 1 Прямі MP и NB НЕ перетінаються.
Точки відрізку NP розіб'ємо на два класи До 1 і К 2 за Наступний законом. До першого класу віднесемо ті точки X цього відрізку, Які задовольняють умові: промінь MX перетінає промінь NB, а до іншого класу - усі Інші точки відрізку NP. Доведемо, что Вказаною розбіття задовольня...
