є умів а) і б) Предложения Дедекинда.
а) Очевидно, NК 1 і РК 2. Клас До 1 містіть точки, відмінні від N, например, точки X Перетин променя МХ 1 з відрізком NP, де Х 1 - довільна точка променя NB (малий. 5). Клас K 2 містіть точки, відмінні від Р. Насправді, по аксіомі V * існує пряма MS 1, Відмінна від прямої MP и неперетінаюча пряму АВ.
Пряма MS 2, симетрично прямій MS 1 відносно прямої MN, такоже НЕ перетінає пряму АВ (малий. 5). Одна з прямих MS 1 або MS 2 проходити усередіні кута NMP, того перетінає відрізок NP в деякій точці Y, что Належить класу До 2.
б) Нехай X - довільна точка класу До 1, Відмінна від N, а Y - точка іншого класу. Тоді N - X - У, оскількі інакше маємо N - Y - X, Що означає, что промінь MY - Внутрішній промінь кута NMX. Звідсі вітікає, что промінь MY перетінає відрізок NХ 1 тобто. У До 1.
Отже, на безлічі точок відрізку NP маємо Дедекіндовім перерізі. Нехай точка D Робить цею переріз. Доведемо, что D До 2. Припустиме осоружне: DК 1. Тоді промінь MD перетінає промінь NB в деякій точці D 1 (малий. 6).
Візьмемо на Промені NB точку D 1 так, щоб N - D 1 - D 1. Промінь MD 1 перетінає відрізок DP в деякій точці D (малий. 6), яка Належить класу K 1. Отримання Виведення суперечіть Предложения Дедекинда. Таким чином, DК 2. На прямій MD візьмемо точку З так, щоб З - М - D. За теоремі 1 CD || AB.
Залішається довести, что CD - єдина пряма, что проходити через точку М и паралельна прямій АВ. Нехай, навпаки, C D - Інша пряма, что проходити через точку М и паралельна прямій АВ.
За визначенням паралельні прямі внутрішні Промені кутів NMD и NMD перетінають промінь NB, того Промені MD, MD лежати в тій же підлозі-площіні з межею MN, что и промінь NB. Від сюди ми пріходімо до висновка, что або MD - Внутрішній промінь кута NMD laquo ;, або MD - Внутрішній промінь кута NMD.
Альо тоді один з прямих CD або C'Dr перетінає пряму АВ, что суперечіть визначеня паралельності прямих.
Рис. 7
. Нехай М - точка, что НЕ лежить на прямій a, a MN - перпендикуляр, проведень з точки М на пряму а. Віберемо на прямій а две точки А і В так, щоб А- N - В. З теореми 2 вітікає, что через точку М проходити єдина пряма CD, паралельна спрямованій прямій АВ, и єдина пряма EF, паралельна спрямованій прямій ВА (малий. 7 ).
У ході доведення теореми 2 мі ВСТАНОВИВ, что куті DMN и FMN гострі, тому CD и EF - Різні Прямі. Доведемо, что DMN=FMN. Нехай, навпаки, DMN FMN, например DMN gt; FMN.
Розглянемо промінь MF laquo ;, симетричного свічу MF відносно прямої MN (промінь MF raquo, не збережений на малий. 7). Цей промінь є внутрішнім Променю кута DMN. Оскількі MF НЕ перетінає пряму АВ, то и MF" не перетінає Цю пряму. Альо це суперечіть визначеня паралельності прямих CD и АВ.
Таким чином, через шкірні точку М, что НЕ лежить на Цій прямій а, проходять две Прямі, Паралельні прямій а, в двох різніх безпосередньо. ЦІ Прямі утворюють Рівні гострі утлі з перпендикуляром MN, проведеного з точки М до прямої а. Коженая з ціх кутів назівається кутом паралельності у точці М відносно прямій а.
Доведемо, что величина кута паралельності Цілком візначається відстанню від точки М до прямої а. На цьом малюнку NMD - кут паралельності в точці М відносно прямої a, a N M D - Кут паралельності в точці М відносно прямої а laquo ;,,=NMD, x=MN, a /=N M D raquo ;, x '= M/N /.
Доведемо, что если х=х, то='. Нехай, навпаки /,
например а gt ;. Тоді існує Внутрішній промінь h кута N M D ',
такий, что кут между Променю M N и h Рівний. Промінь h 'перетінає
пряму а в деякій точці F .
На прямій а от точки N відкладемовідрізок NF=N F так, щоб точки F и D лежали в одній напівплощіні з межею MN. Отрімаємо трикутник MNF, Рівний трикутнику M N F '(трикутник MNF на малий. 8 НЕ збережений). Так
Рис.8
як NMF =, ті Промені MD и MF співпадають. Пріходімо до висновка, что Прямі MD и перетінаються. Це суперечіть визначеня паралельні прямі. Таким чином='.
Отже, - функція від х:=П (х). Вона назівається функцією Лобачевського и грає істотну роль в гіперболічній геометрії. З попередня викладу ясно, что функція П (х) определена для шкірного позитивного х і что 0 lt; II (х) lt; П/2.
Н. І. Лобачевський получил аналітичне вираженість Цій Функції:
де k - деяке позитивне число.
З цієї формули виходим, что П (х) - монотонно убуваюча безперервна функція. З цієї формули вітікає такоже, что П (х) набуває усіх значень, что лежати между 0 і П/2. Іншімі словами, будь-який Гострий кут є кутом паралельності...
