всю площинах: пучок 1-го роду - безліч всех прямих, что проходять через одну точку (центр пучка); пучок 2-го роду - безліч всех пряму, перпендикулярну до однієї прямий (базі пучка); пучок третій роду - безліч всех прямих, паралельних одній прямій в заданому напрямку, что Включає и Цю пряму.
Ортогональні Траєкторії прямих ціх пучків утворюють аналоги окружності евклідової площіні: окружність у власному розумінні; еквідістанта, або лінія рівніх відстаней (Якщо не розглядаті базу), яка увігнута у БІК бази; гранична лінія, або орициклом, ее можна розглядаті як коло з нескінченно віддаленім центром. Граничні Лінії Конгруентність. Смороду НЕ замкнуті и увігнуті в сторону паралельності. Дві ГРАНИЧНІ Лінії, породжені одним пучком, - концентрічні (вісікають на прямих пучка Рівні відрізкі).
ставленого Довжина концентричність дуг, Укладення между двома прямими пучка, убуває в БІК паралельності як Показове функція відстані х между дугами: s '/ s=e.
Коженая з аналогів окружності может ковзатися по самому Собі, что породжує трьох тіпі однопараметричних рухів площіні: Обертаном вокруг власного центру; Обертаном вокруг ідеального центру (одна Траєкторії - база, решта - еквідістанті); Обертаном вокруг нескінченно віддаленого центру (всі Траєкторії - ГРАНИЧНІ Лінії).
Обертаном аналогів Кіл вокруг прямої породжує пучка виробляти до аналогів сфери: соб ственно сфере, поверхні рівніх відстаней и орисфере, або граничної поверхні.
На сфере геометрія великих Кіл - звічайна сферична геометрія; на поверхні рівніх відстаней - геометрія еквідістанті, что є планіметрії Лобачевського, альо з великим значення до; на гранічній поверхні - евклідова геометрія граничних ліній.
Зв'язок между довжина дуг и хорд граничних ліній и евклідові трігонометрічні співвідношення на гранічній поверхні дозволяють вивести трігонометрічні співвідношення на площіні, тобто трігонометрічні формули для прямолінійніх трікутніків.
2.2 Несуперечність геометрії Лобачевського
Вівівші Вже у своїй першій работе Про початку геометрії формули трігонометрії своєї новой системи, Лобачевський помітів, что ЦІ Рівняння переменяются в. (Рівняння) сферічній Трігонометрії, як скоро вместо боків а, b, c ставімие в а - 1, b - 1, з - 1, но в звічайній геометрії и сферічній Трігонометрії Скрізь входити одна Зміст (тоБТО стосунки) ліній: отже, звічайна Геометрія, Трігонометрія и ця нова геометрія всегда будут Погоджені между собою raquo ;. Це означає, что если ми запішемо теорему косінусів, теорему сінусів и подвійну теорему косінусів сферічної трігонометрії для сфери радіусу r у віді
sinB sinC, (a/r) sin (b/r) sin (c/r) (a/r)=cos (b/r) * cos (c/r) + sin ( b/r) * sin (c/r) * cosA,=- cosBcosC + sinBsinCcos (a/r),
це формули трігонометрії Лобачевського можна Записатись в тому ж виде, замінівші сторона А, b, c трикутника добуткаміai, bi, ci; оскількі множення сторон а, b, c на i рівносільно множения на i радіусу сфери, то, вважаючі r=qi и скоріставшісь відомімі співвідношеннямі
(ix)=ch x, sin (ix)=i sh x,
ми Можемо переписати відповідні формули трігонометрії Лобачевського у віді
(a/q)=ch (b/q) * ch (c/q) -sh (b/q) * sh (c/q) * cosA, sinB sinC, (a/ q) sh (b/q) sh (c/q)=-cosBcosC + sinBsinCcos (a/q).
Сам Лобачевський користувався НЕ функціямі ch x и sh x, а комбінаціямі введеної ним Функції П (х) з трігонометрічнімі функціямі; Постійна q в ціх формулах - та ж, что и у формулах (1) і (2).
Фактично Лобачевський довів несуперечність своєї системи тім, что ввів як на площіні, так и в пространстве координати и таким чином побудував Арифметичний модель площини и простору Лобачевського.
проти сам Лобачевський бачив свідоцтво несуперечність Відкритої ним геометрії у Вказаною зв язку формул его трігонометрії з формулами сферічної трігонометрії. Це Виведення Лобачевського неправомірне. У своих мемуарах ВІН довів, что формули сферічної трігонометрії вітікають з его геометрії, между тім, щоб стверджуваті, что з несуперечності трігонометрічніх формул вітікає несуперечність геометрії Лобачевського, нужно Було довести, что усі Предложения последнего можна вивести з ее трігонометрічніх формул и абсолютної геометрії raquo ;- Пропозіцій, що не залежних від п ятого постулату. Лобачевський спробував провести такий доказ, но в его міркування вкралася помилка.
2.3 Аксіома Лобачевського. Паралельні Прямі по Лобачевському
. Геометрія Лобачевського (чі гіперболічна геометрія) заснована на аксіомах груп I - IV абсолютної геометрії и на наступній аксіомі...
