ify"> Таблиця 1
Загальний вигляд платіжної матриці матричної гри
B1B2 ... BnA1A11A12 ... A1nA2A21A22 ... A2n ... ............ Amam1am2 ... amn де Ai - назви стратегій гравця 1, Bj - назви стратегій гравця 2, aij - значення виграшів гравця 1 при виборі ним i - й стратегії, а гравцем 2 - j - й стратегії. Оскільки дана гра є грою з нульовою сумою, значення виграшу для гравця 2 є величиною, противоположенной по знаку значенням виграшу гравця 1.
Поняття про нижньої і верхньої ціною гри.
Кожен з гравців прагне максимізувати свій виграш з урахуванням поведінки протидіє йому гравця.
Тому для гравця 1 необхідно визначити мінімальні значення виграшів в кожній із стратегій, а потім знайти максимум з цих значень, тобто визначити величину Vн=maxi minj aij, або знайти мінімальні значення по кожній з рядків платіжної матриці , а потім визначити максимальне з цих значень.
Величина Vн називається Максиміна матриці або нижньою ціною гри [11].
Величина виграшу гравця 1 дорівнює, за визначенням матричної гри, величині програшу гравця 2. Тому для гравця 2 необхідно визначити значення Vв=minj maxi aij.
Або знайти максимальні значення по кожному із стовпців платіжної матриці, а потім визначити мінімальне з цих значень. Величина Vв називається мінімакси матриці або верхньою ціною гри.
У випадку, якщо значення Vн і Vв не збігаються, при збереженні правил гри (коефіцієнтів aij) в тривалій перспективі, вибір стратегій кожним з гравців виявляється нестійким. Стійкість він набуває лише при рівності Vн=Vв=V.
У цьому випадку говорять, що гра має рішення в чистих стратегіях, а стратегії, в яких досягається V - оптимальними чистими стратегіями. Величина V називається чистим ціною гри. [8].
Наприклад, в матриці (таблиця 2)
Таблиця 2
Платіжна матриця, в якій існує рішення в чистих стратегіях
B1B2B3B4MinjA176544A218231A381321Maxi8854
існує рішення в чистих стратегіях. При цьому для гравця 1 оптимальної чистої стратегією буде стратегія A1, а для гравця 2 - стратегія B4.
У матриці (таблиця 3)
Таблиця 3
Платіжна матриця, в якій не існує рішення в чистих стратегіях
B1B2B3B4MinjA176522A218231A381321Maxi8853
рішення в чистих стратегіях не існує, так як нижня ціна гри досягається в стратегії A1 і її значення дорівнює 2, в той час як верхня ціна гри досягається в стратегії B4 і її значення дорівнює 3.
Зменшення порядку платіжної матриці
Порядок платіжної матриці (кількість рядків і стовпців) може бути зменшений за рахунок виключення домінованих і дублюючих стратегій [12].
Стратегія K * називається домінованих стратегією K **, якщо при будь-якому варіанті поведінки протидіє гравця виконується співвідношення Ak * lt; Ak **, де Ak * і Ak ** - значення виграшів при виборі гравцем, відповідно, стратегій K * і K **.
У випадку, якщо виконується співвідношення Ak *=Ak **, стратегія K * називається дублюючої стосовно стратегії K **.
Наприклад, в матриці (таблиця 4)
Таблиця 4
Платіжна матриця з домінованих і дублюючими стратегіями
B1B2B3B4B5B6A1123447A2765448A3182336A4813225
стратегія A1 є домінованих по відношенню до стратегії A2, стратегія B6 є домінованих по відношенню до стратегій B3, B4 і B5, а стратегія B5 є дублюючої стосовно стратегії B4. Дані стратегії не будуть обрані гравцями, так як є свідомо програшними й видалення цих стратегій з платіжної матриці не вплине на визначення нижньої і верхньої ціни гри, описаної даної матрицею.
Безліч недомініруемих стратегій, отриманих після зменшення розмірності платіжної матриці, називається ще безліччю Парето (по імені італійського економіста Вільфредо Парето, який займався дослідженнями в даній області) [7].
Поняття про матричних іграх зі змішаним розширенням
Дослідження в матричних іграх починається з знаходження її чистої ціни. Якщо матрична гра має рішення в чистих стратегіях, то знаходженням чистої ціни закінчується дослідження гри.
Якщо ж у грі немає рішення в чистих стратегіях, то можна знайти нижню і верхню ціни цієї гри, які вказують, що гравець 1 не повинен сподіватися на виграш більший, ніж верхня ціна гри, і може бути впевнений в отриманні виграшу не менше нижньої ціни гри.
Поліпшення ріш...
