p align="justify"> Таблиця 2.1 Способи завдання граничних умов
на зовнішньому радіусі на внутрішньому радіусі вільний крайсвободное спирання пластини на контурежестко затиснений край вільний край вільний спирання пластини на контуре1 жорстко затиснений край
Глава 3. Алгоритм оптимізації диска методом чутливості
. 1 Висновок варіаційного рівняння
Після того як отримана система рівнянь для розрахунку пластинки можна переходити до алгоритму оптимізації диска. Для зручності замінимо обмеження (1.1) інтегральним співвідношенням [6]:
(3.1)
де прийнято позначення для будь-якої функції.
Метод оптимізації полягає в оцінці чутливості функції мети до параметру управління, яким в нашому завданні є товщина диска [5]. Для реалізації цього методу слід взяти два схожих диска c толщинами й. Відзначимо, що перехід від вектора стану до вектора змінить операторний рівняння (2.24)
(3.2)
Де
.
Тоді уявімо матрицю:
(3.3)
Покажемо, що де Похідна від всіх елементів матриці дорівнюватиме 0, крім Розглянемо диференціювання цих елементів окремо:
(3.4)
(3.5)
Тепер розпишемо значення ненульових елементів матриці з обліків:
(3.6)
(3.7)
З (3.5) і (3.6) випливає, що Аналогічно отримаємо
Таким чином, варіаційна постановка задачі матиме наступний вигляд:
(3.8)
Виключаючи з (3.8) рівняння (2.24), відповідне початкового стану, отримаємо:
або рівняння в варіаціях має вигляд
(3.9)
де
(3.10)
Граничні умови з (2.31) для отримаємо наступні
(3.11)
. 2 Розрахунок градієнтів цільової функції і обмежень
Помножимо вираз (3.10) на зв'язаний вектор і проинтегрируем на відрізку
(3.12)
Розглянемо перший доданок інтеграла окремо
Таким чином,
(3.13)
де - пов'язаний оператор.
Скориставшись (3.13) представимо (3.12) у вигляді
(3.14)
Введемо пов'язану систему рівнянь
(3.15)
Пам'ятаючи про інтегральної записи обмеження (3.1), розглянемо перехід від диска c товщиною до диска з товщиною. Функціонал змінюється на
(3.16)
Підставами (3.15) в (3.14) і отримаємо
тоді (3.16) прийме вигляд
(3.17)
за умови, що в (3.14). З урахуванням (3.11) це накладає на рішення системи (3.15) граничні умови
Для визначення функції можна вирішити завдання пошуку мінімуму лінійного функціоналу з інтегральними обмеженнями
(3.18)
де - маса вихідної проекту диска (товщиною);- Обмеження, що накладаються на норму зміни на кожній ітерації. Від вибору параметра залежить швидкість збіжності алгоритму.
Завдання (3.18) за допомогою множників Лагранжа може бути зведена до задачі пошуку стаціонарної точки 7функціонала
(3.19)
Зміна функціонала при переході від функції до з точністю до лінійних доданків можна записати наступним чином
(3.20)
Як і у випадку багатьох змінних, в стаціонарній точці лінійна частина зміни функціоналу (варіація функціонала) повинна бути нульовою, т.е.
З цього виразу випливає, що
(3.21)
Для визначення коефіцієнта (3.21) підставляється під друга умова (3.18). Остаточне вираз для варіації товщини диска на кожній ітерації має вигляд
(3.22)
У цієї залежності введено новий параметр, який спільно з параметром управляє нормою зміни проекту на кожній ітерації. Від нього так само залежить швидкість збіжності а...
