лгоритму.
3.3 Алгоритм методу проекції градієнта
На рис. 3.1 представлена ??блок-схема алгоритму методу проекції градієнта. Після перерахунку товщин слід заново повторювати цей алгоритм вже з новими товщинами, порівнюючи напруги з обмеженнями в кожній точці, поки напруга не стануть рівні допустимим. Якщо не накладати конструктивні обмеження по товщині, можна отримати оптимальний диск, в кожній точці якого напруги будуть рівні гранично допустимим.
Рис. 3.1. Блок-схема алгоритму методу проекції градієнта
У залежності від величини параметрів управління швидкість збіжності алгоритму буде різною, але не слід намагатися за допомогою зміни значень параметрів управління прискорити процес збіжності алгоритму, оскільки можуть виникнути сильні скачки різних параметрів диска через занадто великого зміни товщини за одну ітерацію.
Розрахунок диска ведеться двома методами: методом кінцевих елементів (МКР) [8] і методом кінцевих різниць (МКР). МКЕ дозволяє уникнути чисельного інтегрування, зменшується похибка обчислень, що, як наслідок, призводить до підвищення точності. Так само МКЕ дозволяє розраховувати диск на значно меншій кількості вузлів у порівнянні з МКР, що призводить до відносного зменшення витрат ресурсів обчислювальної машини. Однак МКР значно виграє за часом за рахунок простоти чисельного диференціювання.
МКР програє в точності методу кінцевих елементів на однаковій кількості вузлів, але за рахунок збільшення кількості вузлів у МКР можна домогтися однакової похибки цих двох методів при однаковій кількості витраченого на рахунок часу. В цілому, для досягнення однакової точності МКР - швидше, ніж МКЕ.
3.4 МКЕ стосовно до задачі про вигин круглої пластинки
Розрахунок диска ведеться методом скінченних елементів (МСЕ) [9]. МКЕ дозволяє уникнути чисельного інтегрування, тим самим зменшуючи похибка обчислень, що, як наслідок, призводить до підвищення точності. Так само МКЕ дозволяє розраховувати диск на невеликій кількості вузлів, що призводить до відносного зменшення витрат ресурсів обчислювальної машини.
Розіб'ємо весь диск на кінцеві елементи. У розрахунках для переходу від функції до вектора параметрів проектування використовувалася лінійна апроксимація. Відрізок розбивається на рівних інтервалів, для апроксимації керуючої функції використовувалися лінійні функції.
Розглянемо систему (2.24) диференціальних рівнянь першого порядку для диска. Введемо позначення
(3.23)
І інтегруючи по радіусу, отримаємо співвідношення МКЕ для рівняння в переміщеннях для диска:
Розглянемо формування матриці системи і вектора навантажень:
- матриця форми, де
.
Підсумовуючи по всіх кінцевих елементів, знайдемо
Позначимо
тоді можна записати
- матриця жорсткості для одного елемента.
Матриця і права частина для всієї системи формулюються з і як показано на рис. 3.2.
Рис. 3.2. Формування загальної матриці системи
3.5 МКР стосовно до задачі про вигин круглої пластинки
Заміна крайової задачі початковій призводить до суттєвого спрощення рішення. Тому інший зручний метод розв'язку крайової задачі (2.24) і пов'язаною системи (3.15) - метод початкових параметрів, заснований на доповненні поставлених для крайової задачі граничних умов на початку ділянки інтегрування деякими параметрами, званими початковими [13]. Ці параметри вибираються так, щоб отримана при цьому сукупність початкових умов повністю визначала рішення поставленої задачі.
Основна трудність чисельного рішення рівнянь (2.24), (3.15) полягає в тому, що на підставі граничних умов в початковій точці () бувають відомі тільки деякі початкові значення функцій (у разі пов'язаною системи). Інші ж повинні бути визначені по граничних умовах на зовнішньому краї пластини () [12].
Нехай дана крайова задача (2.24) з граничними умовами (2.31).
Загальний інтеграл системи (2.24)
(3.24)
де - приватне рішення матричного рівняння (2.24), що задовольнить нульовим початковим умовам;- -е Приватне рішення відповідного рівняння (2.24) однорідного рівняння, тобто при нульовому стовпці вільних членів
, де взято з формули (3.23),
задовольняє почат...
