мо а0=Bо. Таким чином, n=m, ai=bi (i=0, l,.., Nl), але це суперечить допущенню, що число k + 1. має два різних уявлення (6) і (7). Отже, число до + 1 представляється у вигляді (1) єдиним чином. На підставі принципу математичної індукції твердження справедливе для будь-якого N. Теорема доведена.
1.3 Десяткова система числення, її походження і застосування
Уявіть, що ви перераховуєте велика кількість однакових предметів, наприклад, сірників. Найзручніше буде розкласти ці предмети як купки по десять у кожній. Вийде деяка кількість десятків (і, може бути, залишаться кілька предметів, що не увійшли в цілі десятки). Далі доведеться перераховувати купки (десятки). Якщо купок (десятків) буде дуже багато, можна їх теж згрупувати в десятки, і так далі.
Таким шляхом ми приходимо до основної ідеї нашої системи числення - до думки про одиницях різних розрядів. Десять одиниць утворюють один десяток, тобто десять одиниць першого розряду утворюють одну одиницю другого розряду, десять одиниць другого - одиницю третього і так далі.
Незважаючи на свою уявну простоту, така система числення пройшла дуже довгий шлях історичного розвитку. У її створенні брали участь багато народів.
Виникає питання - чому стали розкладати предмети на десятки, а не на п'яти або дюжини? Чому одиниці кожного розряду в десять, а не у вісім або три рази більше одиниць попереднього розряду?
Рахунок десятками набув широкого поширення тому, що люди розташовують природної лічильної машиною raquo ;, пов'язаної з числом десять -десятью пальцями на руках.
Десяткова нумерація винайдена індусами; в Європу її занесли араби, що вторглися в Іспанію у VIII ст. нашої ери. Арабська нумерація поширилася по всій Європі, і, будучи простіше і зручніше інших систем числення, швидко їх витіснила. Дотепер наші цифри прийнято називати арабськими. Втім, за тисячу років всі цифри, крім 1 і 9, сильно змінилися. Ось, для порівняння, наші (звані арабськими) і справжні арабські цифри (див. Рис. 5):
Рис. 5 - Арабські цифри
Назви перших шести розрядів (одиниці, десятки, сотні, тисячі і так далі) дуже давні й у різних народів звучать по-різному.
Слово мільйон порівняно недавнього походження. Придумав його відомий венеціанський мандрівник Марко Поло, якому не вистачало звичайних чисел, щоб розповісти про незвичайне достатку людей і багатств далекій Небесної Імперії (Китай). По-русски слову мільйон могло б відповідати неіснуюче слово тисячіща .
Для побудови числових найменувань більш високих порядків використовуються латинські числівники (більйони, трильйони). Побудовані таким чином назви мало зручні, латинь знають не всі. Та й взагалі такі числа зустрічаються тільки в збірниках математичних курйозів, та в деяких відділах теорії чисел. Немає необхідності придумувати їм раціональні назви. Тут на допомогу приходить поняття ступеня. Число, зображуване одиницею з нулями, є ступенем десятки: 100=102, 1000=103, 10 ... 00 ... 00=10n.
Ці міркування дозволяють нам дуже коротко і зручно записувати всі числа, які даються нам наукою і життям. Наприклад, маса Земної кулі - 6 000 000 000 000 000 000 000 тон. Можна записати: червень 1021 тонн, і назвати шостій на десять у двадцять першого ступеня raquo ;, це коротко і зручно.
У практичному житті при рахунку предметів, яких дуже багато, наприклад, жителів країни, при вимірюванні різних величин, вдається визначити тільки перші кілька цифр результату. Будь-яке число, дане практично, вдається записати як твір не більш ніж восьмизначного (частіше трьох - чотиризначного) числа на одиницю з нулями raquo ;. Наприклад, поверхня Землі - 509000000 км2. Можна записати так: 509 106км2.
Класичним прикладом числового гіганта є нагорода, яку, якщо вірити стародавній легенді, зажадав собі винахідник шахівниці: за першу клітку дошки - одне зерно рису, за другу - два, за третю - чотири і так далі, за кожну наступну - у два рази більше, ніж за попередню. Ця скромна на вигляд прохання виявилася нездійсненною: всі житниці світу не зможуть вмістити рису, затребуваного хитрим винахідником.
Таким чином, для позначення і запису чисел користуються позиційної десяткової нумерацією. Позиційної вона називається тому, що значення цифри залежить від її положення - місця в ряду інших цифр у записі числа; десяткової - тому, що з двох написаних поруч цифр ліва позначає одиниці в десять разів більші, ніж права. Для позначення і запису чисел в межах мільярда ця система дуже зручна. При записи дуже великих чисел користуються поняттям ступеня числа.
1.4 Системи числення з ін...
