новазі.
На сторонах? А 1 А 2 А 3, як на підставах, побудовані трикутник А 1 В 3 А 2, А 2 В 1 А 3, А 3 В 2 А 1 з одним і тим же кутом при вершинах В 1, В 2, В 3, що не мають з? А 1 А 2 А 3 спільних внутрішніх точок. Доведемо, що точка перетину медіан? В 1 В 2 В 3 збігається з точкою перетину медіан? А 1 А 2 А 3 (рис. 14).
Рішення: Вектор може бути отриманий з вектора поворотом па кут. Тому Значить, В 3 центр мас двох матеріальних точок 1А 1 і А 2.
Аналогічно, В 1 - центр мас матеріальних точок 1А 2 і А 3, а В 2 - центр мас матеріальних точок 1А 3 і А 1.
Розглянемо систему всіх шести матеріальних точок і позначимо через Z її центр мас (сумарна маса цієї системи дорівнює 3 (1)). Застосовуючи формулу
і виробляючи двома способами угруповання, знаходимо
Звідси ясно, що центроїди (т. е. точки перетину медіан) обох трикутників А 1 А 2 А 3 і В 1 В 2 В 3 збігаються з точкою Z. Зауважимо, що доведене твердження залишається в силі , якщо на сторонах трикутника А 1 А 2 А 3 будуються не рівнобедрені, а подібні і однаково орієнтовані трикутники
На сторонах довільного трикутника А 1 А 2 А 3, як на підставах побудовані рівносторонні трикутники A 1 B 3 A 2, A 2 B 1 A 3, A 3 B 2 A 1, що не мають з трикутником А 1 А 2 А 3 спільних внутрішніх точок. У цих трикутниках відзначені їх центри P 3, P 1, P 2. Доведемо, що? P 1 P 2 P 3 - також рівносторонній.
Вектор можна отримати з поворотом на кут 2?/3 (рис.15). Тому, полога, маємо значить, P 3 - ценрт мас матеріальних точок 1А 1 і (-с) А 1. Аналогічно, P 1 - центр мас матеріальних точок 1А 3 і (-с) А 2; далі, P 2 - центр мас матеріальних точок 1А 1 і (-с) А 3, а значить, P 2 - центр мас матеріальних точок (- 1) А 3 і (1/с) А 1. Розглянемо тепер чотирьох матеріальні точки 1А 3, (-с) А 2, (- 1) А 3, (1/с) А 1 і нехай Z - їх центр мас (сумарна маса цієї системи дорівнює -с + (1/с) ? 0). Зробимо угруповання мас:
З цього видно, що Z - центр мас матеріальних точок (1/с) А 1 і (-с) А 2, а отже, і двох матеріальних точок 1А 2 і (-с) А 1 (оскільки з 3=1). Отже, Z=P 3. З іншого боку,
.
Множачи для спрощення на і враховуючи, що Z=P 3, перепишемо це рівність у вигляді Оскільки, то вектор можна отримати з вектора поворотом на Отже,? P 3 P 1 P 2 - правильний.
Висновок
математичний центр маса барицентрична
Ще в ??? столітті до нашої ери Архімед виявив можливість доводити нові математичні факти за допомогою властивостей центру мас. Кілька простих властивостей дозволяють вирішувати різні завдання геометрії та алгебри.
Застосовуються барицентрична координати в різних хімічних, топологічних завданнях. Цікаво їх застосування в колориметрії (це метод кількісного визначення вмісту речовин в розчинах).
Література
Балк М.Б. і Болтянский В.Г. «Геометрія мас» 1987р.
Яглом І.М. «Генетика популяцій і геометрія//Квант» 1986, №4, стор. 5-11.
