меннику дробу у формулі (7), а в доведенні теореми 3 використовується формула, в знаменнику якої стоїть сума мас зазначених матеріальних точок. Докази ж теорем 1 і 3 залишаються без зміни.
Далі, теорема 2 для випадку дійсних (не обов'язково позитивних) мас замінюється таким твердженням:
Центр Z двох мас m 1 і m 2 з ненульовою сумою, поміщених в кінцях відрізка A 1 A 2, лежить на прямій, що містить цей відрізок, і задовольняє умові, де - відповідні «плечі»; при цьому точка Z лежить на відрізку А 1 А 2, якщо знаки чисел m 1 і m 2 однакові, і поза ним, якщо вони протилежні.
Так видозмінюється архимедова правило важеля для випадку довільних дійсних мас. Доказ проводиться так само, як і доказ теореми 2. Зауважимо, що центр мас двох матеріальних точок (з ненульовою сумарною масою) розташований ближче до «більш масивною» з них, т. Е. До тієї, маса якої більше по модулю; це відразу випливає з рівності
.
Нехай ABCD - паралелограм; доведемо, що центром мас трьох матеріальних точок mA, (-m) B, mC (рис. 10) є четвертим вершина D, тобто mA + (- m) B + mC=mD.
Рішення: Нехай О - центр паралелограма, а Z - шуканий центр мас. Тоді за формулою
=, тобто Z=D.
Нехай А 1, А 2, А 3 - вершини трикутника (рис. 11); У 1, У 2, У 3 - середини протилежних їм сторін; М - довільна точка; М 1, М 2, М 3 - точки, симетричні М щодо точок В 1, В 2, В 3. Доведемо, що прямі А 1 М 1, А 2 М 2, А 2 М 2 перетинаються в одній точці.
Так як А 1, М, А 2, М 3 - вершини паралелограма, то маємо) M.
Будь-яка точка Z прямої М 3 А 3 (крім A 3) є центром мас двох матеріальних точок 1М 3 і хА 3, де х - число (позитивне чи негативне), залежне від вибору точки Z. Інакше кажучи,
Тепер видно, що при х=1 точки А 1, A 2, А 3 входять в праву частину з однаковими коефіцієнтами. Інакше кажучи, точка Z, обумовлена ??рівністю 2Z=1M 3 + 1А 3 (т. Е. Середина відрізка А 3 М 3), задовольняє умові
Зважаючи однаковості коефіцієнтів точки A 1, A 2, A 3 рівноправні в цьому записі, і тому розглянута точка Z належить не тільки прямий M 3 A 3, але і двом іншим прямим M 1 A 1, M 2 A 2. Крім того, ця точка Z є серединою не тільки відрізка A 3 M 3, але й відрізків A 1 M 1, A 2 M 2. Таким чином, три відрізки A 1 M 1, A 2 M 2, A 3 M 3 мають спільну точку Z і кожен з них ділиться в цій точці навпіл.
. Комплексні маси
У цьому параграфі припустимо, що маси розглянутих матеріальних точок можуть приймати не тільки негативні значення, але і, більше того, не бути дійсними, т. е. можуть приймати довільні комплексні значення.
Негативні маси можуть виявитися дуже корисними при вирішенні геометричних задач. Неважко привести міркування, що показують, що негативні маси можуть мати і пряме механічне тлумачення. Уявімо собі однорідне рідку або газоподібну середовище (наприклад, посудину, наповнену водою), в якій знаходяться невеликі кульки («матеріальні точки»), з'єднані один з одним жорсткими невагомими стрижнями. Нехай кулька, розташований в точці А 1 має об'єм і масу m 1. Тоді на нього діє спрямована вниз сила тяжіння, що має величину m 1, і архимедова виштовхуюча сила, яка має величину (p) (де р - щільність рідини) і спрямована вгору - протилежно силі тяжіння (рис. 12). Інакше кажучи, сила тяжіння дорівнює (а виштовхуюча сила дорівнює - (p де e - одиничний вектор, спрямований вниз. У результаті обливаються, що на кульку А 1 діє сила (. Це можна умовно витлумачити так (відкинувши середу), як ніби кулька знаходиться у вакуумі і має «наведену» масу тоді якраз на нього діятиме сила тяжіння, рівна. Якщо при цьому (кулька має велику щільність, ніж рідка середу), то «наведена» маса позитивна; якщо ж (кулька пухкий, т. е. його щільність менше щільності середовища), то «наведена» маса негативна. Таким чином, при знаходженні центру «наведених» мас треба враховувати, що вони можуть бути як позитивними, гак і негативними.
Наприклад, якщо у воду поміщені дерев'яний і сталевої кульки, насаджені на невагомий стрижень, то «наведена» маса першого з них негативна, а другого - позитивна. Тому центр Z цих мас («наведених») знаходиться поза відрізка, кінцями якого є кульки. Якщо зміцнити стрижень шарнірно в цій точці Z, то вся система залишиться в рівновазі (рис. 13). Це й зрозуміло: результуюча сила, що діє на дерев'яну кульку, спрямована вгору (кулька спливає), а діюча на сталева кулька - вниз (він тоне), і оскільки - за правилом важеля - моменти (т. Е. Твори плечей на відповідні «наведені »маси) рівні за величиною і протилежно спрямовані, система залишиться в рів...
