ощади ізоперіметрічного з ним багатокутніка A1A2 ... An, что суперечіть максімальності последнего багатокутніка.
Лема 1 доведена.
Наслідок. З Лемі 1 віпліває, что максимальним трикутником є ??рівносторонній І що максимальний чотірікутнік винен буті ромбом. З последнего ув'язнення і З малий. 4 Негайно можна вивести, что максимальний чотірікутнік насправді - квадрат.
Мал. 4
Доведення Лемі 2.Нехай вновь A1A2 ... An - максимальний n-кутник. Мі Вже знаємо (лема 1), что всі Сторони его Рівні, и пам ятаємо, что ВІН опуклій. Припустиме тепер, что НЕ всі его куті однакові, и прійдемо до протіріччя. Якщо не всі куті Рівні, то існують дві нерівніх суміжніх кута ???. Доведемо, что тоді існують и дві нерівніх несуміжніх кута. Розглянемо послідовно розташовані куті багатокутніка? ,? ,? ,? ,? , ... (Їх НЕ менше п яті). Если ?? ? або? ? ? , То ми досяглі мети, так як куті? и? (або? і?) - несуміжні. Залішається Розглянуто випадок? =? ,? =? , ??? , Коли послідовність має вигляд:? ,? ,? ,? ,?... Альо тут не Рівні одна одному дві несуміжніх кута - перший І чверті.
Таким чином, при Зроблений пріпущенні можна вважаті, что існують дві непересічні внутрішнімі частинами трикутника DEF и PQR (малий. 5), КОЖЕН з Який Утворення поспіль Йдут вершинами нашого n-кутника, причому кут E менше кута Q. У силу того, что | DE |=| EF |=| PQ |=| QR |, и через нерівності между кутамі, отрімуємо, что | DF | lt; | PR |. Опустімо з E и Q перпендикуляр EG на DF и QT на PR. До продовження відрізка EG докладемо трикутник ET P, Рівний (конгруентність) трикутнику QTP (точка T переходити в T, P - у P, Q - в E). І знову розглянемо Завдання Герона для прямої TG и точок P и F. Нехай S - решение задачі Герона, тобто точка на TG, для якої сума відстаней від P до S и от S до F Мінімальна. У силу того, что кут P ET (Рівний половіні кута Q) более кута FEG (Рівного половіні кута E), точка S НЕ співпадає з точкою E (бо куті P ST и FSG Рівні) І, более того, S лежить на відрізку EG. Відкладемо тепер на прямий QT відрізок TU, Рівний по довжіні відрізку TS, и розглянемо трикутники DSF и PUR. Сума бічніх сторон ціх трікутніків менше суми бічніх сторон вихідних трікутніків DEF и PQR.
Мал. 5
Дійсно,
| DS | + | SF | + | PU | + | UR |=2 (| SF | + | SP |) lt; 2 (| FE | + | EP |)=| DE | + | EF | + | PQ | + | QR |.
Мі корістуваліся тім, что наші трикутники рівнобедрені, и тім, что S - решение задачі Герона. З Іншого боці, площа? PES более площади? ESF, бо у Першого висота дорівнює | PT |=| PR |, в іншого висота дорівнює | FG |=| DF |, а по доведенню Вже | DF | lt; | PR |. Звідсі віпліває, что сума площ трікутніків DSF и PUR более суми площ Первін трікутніків DEF и PQR. Дійсно,
? DSF + S? PUR=S? DEF - 2S? ESF + S? PQR + S? ESP gt; S? DEF + S? PQR
Значить, n-кутник DSF ... PUR ... має менший періметрі більшу площу, чем наш початковий n-кутник DEF ...... PQR ... Тепер можна з будь-яким з трікутніків (DSF або POR) вчініті точно так само, як ми вчинили з? A1DA3 при доказі Лемі 1, тобто надбудуваті его, зрівнявші периметру багатокутніків и Зробі площа нового багатокутніка ще більшою, чем площа багатокутніка DEF ... PQP ..., Отже, цею багатокутнік -не максимально. Лема 2повністю доведена, а з нею доведена и теорема Зенодор. Залишилось вивести з неї решение класичної ізоперіметрічної задачі.
Лема про Існування максимального n -кутніка. Мі довели, что если максимальний n-кутник існує, то ВІН правильно. Альо чі існує максимальний n-кутник? А РАПТ ні? Тоді все піде прахом. Аджея не всяка функція має максимум. Например, функція f (x)=- (1+ x2) - 1 цієї статті не досягає свого найбільшого значення.
запитаня Існування РІШЕНЬ НЕ були предметом РОЗГЛЯДУ давніх авторів. Значення проблем Існування и методи доведення теорем Існування були зрозумілі примерно сто лет назад. Надалі нам придется не раз торкати ціх харчування. Тут же ми наведемо без доведення Наступний тверджень (Пожалуйста Зенодор, мабуть вважаться само собою зрозумілім).
Лема 3. Максимальний n-кутник існує.
Звідсі з лем 1 і 2 слідує
Теорема 1. Максимальний n-кутник є правильним n-кутником.
Тепер залиша Вже зовсім Небагато.
Завершення доведення.
Нехай P - периметр правильного n-кутника, a S - его площа. Мі знаємо з геометрії, что P=2nRsin (?/N), де R - радіус описаного кола
S=
де r - радіус вписаного кола. При цьом r=Rcos (?/N). Зіставляючі все це, пріходімо до формули, яка зв'язує S и P:
- 4n tg?/n · S=0.
