="justify"> Теорема 1 означає, что если P - периметр Деяк довільного n-кутника, а S - его площа, то має місце нерівність
- 4n tg?/n · S? 0.
З нерівності tg ??? (вірного для 0 ?? lt;?/1) i з (2) отрімаємо нерівність
- 4? S? 0
справедливе для будь-которого n-кутника и будь-которого n. Зазначімо, что для будь-которого кола має місце очевидне Рівність
- 4? S=0
де P - довжина кола, а S - площа кола.
Тепер сформулюємо лему, что зв'язує всі Поняття, беруть доля у формулюванні класичної ізоперіметрічної задачі, з ПОНЯТТЯ n-кутника. Вона означає, что Довжину крівої площа, охоплювану нею, можна з будь-яким ступенів точності наблізіті периметром и площею n-кутника.
Лема 4. Для будь-якої замкнутої плоскої крівої довжина P *, охоплює площу S *, и для будь-которого? gt; 0 можна найти Деяк n-кутник, периметр P и площа S которого задовольняють нерівностям
| P-P * | ?? , | S-S * | ??
З Лемі 4 и співвідношення (3) отрімуємо, что за будь? знайдеться такий багатокутнік з периметром P и площею S, что віконані нерівності
? S *? 4? S + 4 ?? ? P2 +4 ??? (P * +?) 2+ 4 ?? =P * 2 +? (2P * + 4? +?).
У силу того, что e довільно, пріходімо до залишкового нерівності
? S *? P * 2,
Пожалуйста согласно (4) превращается в Рівність для кола.
Підсумуємо сказання В виде следующего тверджень.
Теорема 2. Площа, охоплювана будь-якої замкнутої крівої даної Довжина, вбірається площади кола, окружність которого має таку ж Довжину.
Мі нашли ПОВНЕ решение ізоперіметрічної проблеми.
Коментарі. 1. Повне решение Нашої задачі Вийшла єднанням двох геометричних лем Зенодор и двох СУЧАСНИХ, альо, по суті справи, технічних лем 3 и 4. Всі необхідне для доказу Лемі 3 Було заготовлено в Працюю Вейерштраса; Поняття довжина крівої і площі, охоплюваній крівої, Було Надано точне значення Жорданом, и тім самим Їм були зроблені основні заготовки для доказу Лемі 4.
. Детальне проведення доказів лем 3 і 4 можна Прочитати в цітованій Книзі Бляшке [4] .Але Перш чем Закінчити Цю Розповідь - ще одна відступ.
Доведення Штейнера. Важко втріматіся и поряд з доказ, вісхіднім до Ідей древніх, что НЕ Запропонувати схему ще одного доказу, основними думка которого Належить Якобу Штейнеру, математику, збагатів геометрію багатьма чудовим ідеямі. Доказ Штейнера неявно предполагает, что Шукало крива, вірішальна ізоперіметрічне Завдання, існує. (А ми ж уже знаємо, что Це дійсно так.) Залішається довести, что ця Єкстремальний крива - коло.
тверджень 1. Єкстремальний крива опукла.
Що таке опукла крива? Це така крива, что если взяти будь-які две точки, что лежати в області, ограниченной цією кривою, то и весь відрізок, что з'єднує две точки, буде лежать Всередині крівої.
Зауважімо до речі, что опуклість відіграє велику роль в задачах на максимум и мінімум. Про неї у нас ще піде мова далі. Опуклості присвячено много чудовим книг, розрахованіх на школярів, Наприклад: Люстерник [14], Ягломі Болтянский [24] та ін.
Повернемося до доказу Штейнера и доведемо тверджень 1.
Если крива НЕ опуклі, то на ній нашли б две точки A и A Такі, что обідві дуги ABA и AB A, что з'єднують точки A и A, лежати по одну сторону від прямої AA ( малий. 6). Замінівші одну з ціх дуг ее ДЗЕРКАЛЬНИЙ відображенням відносно AA, отрімаємо нову криву більшої площади при тій же довжіні.
Мал. 6
тверджень 2. Если точки A и B ділять Довжину екстремальної Лінії навпіл, то хорда [AB] діліть площу фігурі навпіл.
Дійсно, Якби хорда [AB] діліла площу на две нерівні части, то більшу часть слід Було б відобразіті относительно діаметра, и фігура, что складається з більшої части та ее відображення, мала б ту ж Довжину и велику площу.
тверджень 3. Нехай знову точки A и B ділять Довжину екстремальної Лінії навпіл и C - будь-яка точка крівої. Тоді кут ACB - прямий.
Це центральне місце. Метод, застосовуваного далі, носити Назву чотірьохшарнірного методу Штейнера.
Нехай є точка C така, что кут ACB НЕ є прямим. Площа, обмежена дугою ACB и діаметром AB, розбівається на три части: трикутник ABC и сегменти, прілеглі до сторон AC и CB. Так від, уявімо тепер Собі, что в точці C у нас шарнір, з'єднує ЦІ два сегменти. «Розсунемо» сегмента...
