требує ніякіх скріпіть, и вся представляет цілісність, або того, что ця форма среди всех других володіє найбільшою місткістю, что найбільше личить того, что має охопіті и Зберегти все ».
заразитися Неможливо Сказати, коли Вперше булу вісловлена ??думка про найбільшої місткості кола и Кулі. У всякому разі, Аристотель (IV століття до н. Е.) - Один з найвідатнішіх міслітелів в истории людства - корістується цімі фактами, як відомімі. А хто ж (Не рахуючі Дідоні) насправді решил класичну ізоперіметрічну завдання? Література, Присвячую ізоперіметрічнімі властівостямі кола и ізопіфанновім властівостям Кулі, Величезна. З неозора числа робіт назвемо одну книгу - монографію німецького геометра В. Бляшке. Там Є І вказівки історічного характером. Серед тихий, хто давши решение ізоперіметрічною и ізопіфаніх Завдання, Стародавні Автори називали и Архімеда. Вважається, что Перші суворі докази максимального Властивості кола и Кулі давши Г. А. Шварц. Если вам захочеться простежіті «Історію ізоперіметрічніх Завдання raquo ;, яка Почаїв в сіву давнини легендою про карфагенську царицю Дідоні, до пана таємного Радника Германа Амандусом Шварца з Берліна », ві можете звернута до статті Бляшке (слова, укладені вищє в лапки, взяті з).
Альо насправді Шварцу, а до него Вейерштрасу и после него - самому Бляшке, як и Багат іншім математикам XIX и XX століть, Належить (относительно класичної ізоперіметрічніх Завдання) лишь про оформлення Ідей своих далеких попередніків, оформлення, здатно задовольніті сучасні вимоги суворості. Основні ж шляхи вирішенню ізоперіметрічніх Завдання були абсолютно правильно намічені ще в Античні часи. Інфекцій ми розповімо про один з таких Шляхів, что Належить Зенодор - математику, что живий, як вважають, десь между III століттям до н. е. и I століттям н. е.
Зенодор абсолютно строго, на Сучасне Рівні цього Поняття, доводити Наступний тверджень.
Если існує плоский n-кутник, что має найбільшу площу среди усіх n-кутників Із завданні периметром, то ВІН винен буті рівностороннім и прямокутній.
Плоский n-кутник, что має найбільшу площу среди всех ізоперіметрічніх з ним n-кутників, будемо назіваті (для стіслості) максимальним n-кутником. Вікорістовуючі цею Термін, теорему Зенодор можна сформулюваті Коротше.
Максимальний n-кутник (если ВІН існує) винен буті правильно.
Теорема Зенодор є наслідком двох лем. ??
Лема 1. Максимальний n-кутник винен буті рівностороннім.
Лема 2. Максимальний n-кутник винен буті прямокутній.
Вікладаючі роботи наших далеких попередніків, я не буду, як правило, відтворюваті їх буквально, не стану зберігаті Позначення і стиль авторів чі прагнуті приводити самє авторські докази. Мені хотілося б Відтворити лишь про основні напрямлені думки и загальний дух міркувань, змінюючі и модернізуючі формулювання и докази. Так і тут я наведу ОБРОБКИ доказів лем 1І 2. При цьом дворазово буде Використано вирішенню Завдання Герона.
Перш чем приступити до доказів, нужно сделать Одне зауваження.
Мал. 2
Слід згадаті про обставинні, что НЕ обумовлення Зенодор. Покажемо, что НЕ опуклій багатокутнік НЕ может буті максимальним. Дійсно, если, скажімо, кут A1A2A3 более 180о (Мал. 2), то, відобразівші вершину A2 відносно прямої A1A3 и розглянувші багатокутнік A1A 2A3 ... An, де A 2 - образ A2, мі отрімаємо ізоперіметрічній багатокутнік більшої площади, чем площа A1A2 ... An. Тепер Вже можна навести докази.
Доведення Лемі 1. Нехай A1A2 ... An - максимальний n-кутник. Тоді ВІН, Як було зазначилися, є опуклім. Припустиме, что НЕ всі его Сторони мают однакові довжина, и прійдемо до протіріччя. Нехай две Які-небудь суміжні боку, скажімо, A1A2 и A2A3, що не Рівні между собою по довжіні. Через вершину A2 Проведемо пряму l, паралельнуA1A3 (малий. 3). Розглянемо Завдання Герона для прямої l и точок A1 и A3 про визначення точки D на l, для якої сума відстаней | A1D | + | A3D | би була мінімальною. У попередня пункті Було доведено, что в шуканої точці D кут? дорівнює куту?. Альо кут? дорівнює куту DA1A3, а кут? дорівнює куту DA3A1 по Властивості навхрест лежачих кутів при паралельних.
Мал. 3
Таким чином, трикутник A1DA3 - рівнобедреній І, значити, точка D Відмінна від точки A2. Вместе с тім:
а) площа? A1DA3 дорівнює площади? A1A2A3, бо у них однакові висота и Підстави;
б) сума бічніх сторон трикутника A1DA3 менше суми сторон A1A2 и A2A3, або D (? A2) є решение задачі Герона. Побудуємо тепер рівнобедреній трикутник A1A 2A3, у которого | A1A 2 | + | A 2A3 |=| A1A2 | + | A2A3 |. Его площа, зрозуміло, более площади? A1A2A3, оскількі висота | A 2C | более висота | DC | (в силу того, что Похила | A1A 2 | довша похілої | A1D |), значити, площа багатокутніка A1A 2 ... An більша пл...
