fy">
2.6 Ефект дев яток Теорема 5.
Нехай - просте число, більше 5, и нехай. Припустиме, что период дробом є - значні числа N. Далі позначімо через число, Утворення Першів n цифрами ПЕРІОДУ, и через число, Пожалуйста Утворення его останнімі n цифрами. Тоді=999 ... 999 (дев яток).
Доведення:
За умів
Звідсі,
Оскількі є найменша при якому діліться на, а так як просте, то взаємно просте з, Значить діліться на
. Альо в тій жеж годину - це - значні числа, Які НЕ обидвоє складаються Із одних дев'яток. Значити и таким чином, что и нужно Було довести.
Зазначімо, что вікорістовувалося только в одному місці: віведено Із цього, что взаємно просте з. Зрозуміло, что взаємна простота может настати и при Складення q, так что Закінчення даної теорема справедлива и при Багат других Непростих знаменніків.
2.7 Ще одна ефект
Розглянемо знову период дробом 1/7: N=142 857. Піднесемо до квадрату (N=20408122449), відділімо останні Шість цифр и складемо з тім что залиша: 122449 + 20408=142857.
Отримав вновь наш период. Зробимо таке самє з период числа 1/17:
отримав, правда, не наш початковий период, но число відмінне від него на кругову перестановку цифр.
Аналогічно для ПЕРІОДУ дробом 1/19.
3. Доведення Великої теореми Ферма для
3.1 Доведення Ойлера для n=3
У своєму доведенні Останньоі теореми Ферма при n=3 Ейлер застосовує метод нескінченного спуску. ВІН показує, что если можна найти додатні цілі числа x, y, z, что задовольняють рівнянню, то існують Менші додатні цілі з такою ж властівістю; таким чином, у разі возможности розв'язання цього Рівняння можна Було б найти спадаючу нескінченну послідовність таких трійок ціліх додатних чисел. Зрозуміло, что подобной послідовності НЕ існує. Отже, нельзя найти таких чисел x, y, z.
Зрозуміло, что доведення Великої теореми достаточно провести для взаємно простих x и y, если тобто,, и Рівняння зводу до Рівняння, де
Тоді Можливі випадки:
а) x и y - обидвоє непарні, тоді z-хлопця.
б) Одне з чисел x и y хлопця, а інше непарна, тоді z-непарний.
У будь-якому разі среди чисел x, y, z, одне хлопця, а два Інші-непарні. Тому достаточно Розглянуто випадок, коли обидвоє числа x, y-непарні, оскількі если, например, x- хлопця, то Рівняння зводу до Рівняння, в якому (-y) i z- непарні.
Нехай х і у непарні, тоді, очевидно, звідки, причому з чисел и Одне хлопця, а інше непарна Тоді маємо: Залішається показати, что число не может буті кубом цілого числа.
Припустиме, что, тоді, а отже,, звідки Оскількі числа и мают різну парність, то чи не діліться на 2, а того Розглянемо Рівність: Можливі випадки: а) 3 і б)
а) 3, тобто ()=1.Оскількі то звідки,, а отже, Або або. Отже, добуток двох взаємно простих ціліх чисел дорівнює кубу, того КОЖЕН Із множніків є кубом.
Оскількі є кубом, а числа, мовляв, не могут мати Спільного дільніка увазі (что Ойлер НЕ перевіряє), ВІН Робить Висновок, что Кожний Із ціх множніків є кубом:, звідки
Зауважімо, что оскількі - непарний, то зрозуміло, что -непарне, а - непарні
Іншого боці,, а отже, и є кубом. Альо множнікі взаємно Прості. Тому КОЖЕН Із них є кубом. Нехай, тоді, причому набагато Менші за кубі. Отже, Якби для достаточно великих чисел x, y и z віконувалась Рівність всегда можна Було б найти Менші числа f, g и h, для якіх. Однак, як известно, що не існує таких кубів среди маленьких чисел, звідки віпліває, что їх тім паче немає среди великих чисел.
б). Тоді, б де оскількі Повторюючі міркування пункту а), неважко показати, что и в цьом випадка Висновок аналогічній.
.2 доведенням для n=4 методом нескінченого спуску
Припустиме, что дано розв язки x, y, z Рівняння. Як и у випадка піфагоровіх трійок, можна з самого качана вважаті, что x, y, z НЕ мают спільніх дільніків, більшіх 1, и даже что Ніякі дві з них не мают спільніх дільніків, більшіх 1. Дійсно, в ІНШОМУ випадка з рівності віплівало б, что и Третє з чисел має тієї самий дільнік и Рівняння можна скоротіті на четвертий степінь цього дільніка. Отже, числа, утворюють прімітівну піфагорову трійку І, в разі необхідності міняючі місцямі, мо...
