="justify">
2.4 випадка Непростих знаменніків Вправа 4. Если и взаємно Прості между собою и з 10, то L () є найменша СПІЛЬНЕ кратним чисел те L () i L ().
Оскількі всяке натуральне число є добутком степенів простих, Які между собою взаємно Прості, Останнє тверджень зводу задачу обчислення довжина ПЕРІОДУ до випадка, коли знаменнік є ступінь простого числа. А тут знову немає ясності: например, L (3)=1, L (9)=1, L (7)=6, L (49)=42 і т.д.
Тепер нужно Залишити довжина періодів и звернута до Пояснення феноменів, Які були віявлені на качана.
2.5 Ефект кругової перестановки
Нагадаємо, в чому ВІН Полягає. Мі бачили, что шестизначний период дробом при множенні на 2,3,4,5,6 піддається круговій перестановці: скільки - то цифр Із кінця числа переїжджає на качан. За ІНШОМУ веде собі при множенні на Різні числа шестизначний период дробом; самє ... Втім, что самє з ним відбувається, ми Можемо Побачити. Если доведемо теорему.
Теорема 3.
Нехай N є период дробу (Записаний як число, можливо, Який почінається одним або декількома нулями), де взаємно просте з 10, и нехай є остача від ділення числа на. Тоді число N виходим Із числа N перестановки цифр Із качана числа в Кінець.
Доведення: Нехай M - Ціла частина числа тобто =. Помножімо десятковій Дріб на; при цьом кома переїде на позіцією вліво. Ціла частини одержании числа - це. Відкінемо цілу часть. Одержимо число:
Це - періодічній десятковій Дріб, период которого виходим Із ПЕРІОДУ дробом кругової перестановки цифр: цифр переїжджає Із качана в Кінець; но в тій же ж годину це число в раз более числа, а значити, и его период в раз более ПЕРІОДУ числа тобто N. Теорему доведено.
Если число має -значний период, то доведена теорема все пояснює. Дійсно, круговою перестановки цифр Із ПЕРІОДУ можна здобудуть чисел (включаючі его самого), и всі ЦІ числа Різні. З Іншого боці, коли Множимое период на 1,2, ..., ми такоже отрімуємо чисел; значити це в точності теж самє число. Если период Коротше, то Кругова перестановка цифр ПЕРІОДУ N пропустити вічерпують всех чисел увазі з. Все, что можна Сказати в цьом випадка - це що Кругова перестановка чисел всегда приводять до числа увазі - це доводитися так само, як теорема 3.
Теорема 4.
Нехай N є ціле число (Запис которого, можливо, почінається нулем або декількома нулями), и нехай є число, Пожалуйста складається останнімі цифрами числа N. Припустиме, что при перенесенні знаків Із кінця числа N на качан воно превращается в число, де ціле. Тоді періодічній десятковій Дріб 0, NNN ... дорівнює (Останній Дріб может буті скоротнім)
Доведення: Нехай - число знаків числа N, при перенесенні знаків Із кінця числа N на качан воно превращается в число таким чином,
Що потрібно Було ї довести.
Отрімані міркування можна застосуваті до розв язання наступної олімпіадної задачі.
Завдання. Знайте всі шестізначні числа, Які збільшуються в ціле число раз при перенесенні останньої Цифри Із кінця на качан.
Ми будемо рахувати, як це звічайна діліться, что число почінається НЕ з нуля; вірішіті задачу ми Можемо и без цього припущені, но відповідь буде очень громіздкім: Він буде включати в себе числа 000001, 000002, ..., 000009, 000011, 000013 ... Ми будемо такоже розуміті слово «збільшується» буквально, тобто віключімо випадок, коли число залішається при перенесенні Цифри незміннім; в ІНШОМУ випадка у відповідь увійшлі б числа 111111, 222222, ..., 999999.)
розв язання Нехай А - остання цифра нашого числа, и нехай при ее перенесенні на качан число збільшується в раз. Таким чином,
. За теореми 4 наше число є шестизначний период (можливо ВІН скорочується) дробу Знаменнік цього дроблять до скороченню может буті одним Із чисел 19,29,39, ..., 89; после скороченню на однозначне число знаменнік может превратилась ще в 39: 3=13, 49: 7=7, 69: 3=23. Так як период дробом шестизначний, знаменнік винен буті дільніком числа 999999=(теорема 1). Це залішає для него только трьох возможности: 7,13,39. Таким чином, дорівнює 4 чі 5. При=4 наш Дріб дорівнює, де (Дріб винен буті более 0,1, оскількі период не винних почінатіся з нуля). Період такого дробом є (период дробом є 025641). При=5 Дріб дорівнює и винна скорочуватіся на 7, что залішає для неї єдину можлівість:; период дорівнює 142857.
Відповідь: 102564,128205,142857,153846,179487,205128,230769.
