єктивно функція П† : f -1 ( U ) В® { 1, 2}.
Доказ. З (1) випливає (2). Нехай безперервне відображення f : Х в†’ Y недоладне над точкою y ГЋ Y , т.е . існує така околиця Oy точки y , що трубка f -1 ( U ) є незв'язною над кожною околицею U ГЌ Oy точки y . Таким чином, трубка f -1 ( U ) над околицею U ГЌ Oy розпадається на два діз'юнктних непорожніх відкритих в цій трубці множини, тобто
f -1 ( U ) = Про 1 Про 2 , Про 1 ∩ Про 2 = Г†.
З (2) випливає (3). Нехай трубка f -1 ( U ) розпадається на два діз'юнктних непорожніх відкритих в цій трубці множини. Тоді, по теоремі 1.2, трубка f -1 ( U ) розпадається на два діз'юнктних непорожніх замкнутих в цій трубці множини.
З (3) випливає (4). Нехай трубка f -1 ( U ) розпадається на два діз'юнктних непорожніх замкнутих в цій трубці множини. Тоді, по теоремі 1.2, в трубці f -1 ( U ) існує нетривіальне відкрито-замкнутий у цій трубці безліч.
З (4) випливає (5). Нехай у трубці f -1 ( U ) існує нетривіальне відкрито-замкнутий у цій трубці безліч. Тоді, по теоремі 1.2, для трубки f -1 ( U ) існує безперервна сюр'єктивно функція П† : f -1 ( U ) В® {1, 2}.
З (5) випливає (1). Нехай існує така околиця Oy точки y ГЋ Y , що для трубки f -1 ( U ) над деякою околицею U ГЌ Oy існує безперервна сюр'єктивно функція П† : f -1 ( U ) В® {1, 2}. Тоді, по теоремі 1.2, трубка f -1 ( U ) розпадається на два діз'юнктних непорожніх відкритих в цій трубці множини. Звідси, за визначенням незв'язного над точкою відображення, випливає, що відображення f недоладно над точкою y ГЋ Y . €
Визначення 14. Відображення f : Х в†’ Y називається пошарово зв'язковим , якщо кожен шар f -1 ( y ), де y ГЋ Y , цього відображення є зв'язковим безліччю. p> Теорема 2.2 (про збереження зв'язності). Нехай відображення f : X В® Y і g : Z В® Y безперервні і існує безперервне сюр'єктивно відображення П† : X В® Z , при якому f = g П† . Тоді, якщо відображення f ...
