зв'язно над точкою y ГЋ Y (шар f -1 ( y ) зв'язний), то і відображення g зв'язно над точкою y ГЋ Y (шар g -1 ( y ) зв'язний). Зокрема, якщо отображненіе f зв'язно (пошарово зв'язно), то і відображення g зв'язно (пошарово зв'язно).
Доказ. Нехай відображення f : X В® Y зв'язне над точкою y ГЋ Y , тоді для будь-який околиці Oy точки y існує зв'язкова околиця U ГЌ Oy точки y , трубка над якою f -1 ( U ) связна. Відображення П† безперервне, значить (по теоремі 1.5) образ зв'язного безлічі f -1 ( U ) (зв'язкового шару f -1 ( y )) зв'язний, тобто безліч П† ( f -1 ( U )) (безліч П† ( f -1 ( y ))) - зв'язне.
Припустимо, що відображення g недоладно над точкою y ГЋ Y , тобто існує така зв'язкова околицях Oy точки y , що трубка g -1 ( U ) є незв'язною над кожною околицею U ГЌ Oy точки y . (Припустимо, що шар g -1 ( y ) незв'язний над точкою y ГЋ Y ).
За умовою, f = g П† , отже,
f -1 ( U ) = ( g П† ) -1 ( U ) = П† -1 ( g -1 ( U )).
Звідси,
(для шару Отримали протиріччя, тому що безліч П† ( f -1 ( U )) зв'язне (Шар П† ( f -1 ( y )) зв'язний), а безліч g -1 ( U ) (шар g -1 ( y )) - ні.
Нехай отображненіе f зв'язно (пошарово зв'язне), тоді, за визначенням 10 (11), воно зв'язно над кожною точкою y ГЋ Y (кожен шар f -1 ( y ) зв'язний). Візьмемо довільну точку y ГЋ Y . Якщо відображення f зв'язно над цією точкою y ГЋ Y (шар f -1 ( y ) зв'язний), то і відображення g зв'язно над цією ж точкою (шар g -1 ( y ) зв'язний). У силу довільності вибору точки y , укладаємо, що відображення g зв'язно над кожною точкою y ГЋ Y (пошарово зв'язно). €
2.2. Замкнуті відображення. Зв'язок зв'язності і пошаровим зв'язності
Визначення 15. Відображення f : X в†’ Y назива...
