ідки випливає формула Стірлінга
В
яку можна взяти у вигляді
В
(4.4)
де, при
для досить великих вважають
В
(4.5)
обчислення ж проводиться за допомогою логарифмів
В
якщо ціле позитивне число, то і (4.5) перетворюється на наближену формулу обчислення факторіалів при великих значеннях n
В
наведемо без виводу більш точну формулу
В
де в дужках коштує не сходитися ряд.
5. Приклади обчислення інтегралів
Для обчислення необхідні формули:
В В
Г ()
Обчислити інтеграли
В В
В
В
В В
ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА
Для обчислення гамма-функції використовується апроксимація її логарифма. Для апроксимації гамма-функції на інтервалі x> 0 використовується наступна формула (для комплексних z):
Г (z +1) = (z + g+ 0.5) z +0.5 exp (- (z + g+ 0.5)) [a 0 + a 1 /(z +1) + a 2 /(z +2) + ... + a n /(z + n) + eps]
Ця формула схожа на апроксимацію Стірлінга, але в ній є коригуюча серія. Для значень g = 5 і n = 6, перевірено, що величина похибки Оµ НЕ перевищує 2 * 10 -10 . Більше того, похибка не перевищує цієї величини на всій правій половині комплексної площині: z> 0. p> Для отримання (Дійсної) гамма-функції на інтервалі x> 0 використовується рекуррентная формула Г (z +1) = Zг (z) і вищенаведена апроксимація Г (z +1). Крім того, можна помітити, що зручніше апроксимувати логарифм гамма-функції, ніж її саму. По-перше, при цьому потрібно виклик тільки однієї математичної функції - логарифма, а не двох - експоненти і ступеня (остання все одно використовує виклик логарифма), по-друге, гамма-функція - швидко зростаюча для великих x, і апроксимація її логарифмом знімає питання переповнення. p> Для апроксимації Ln (Г (х) - логарифма гамма-функції - виходить формула:
log (Г (x)) = (x +0.5) log (x +5.5) - (x +5.5) +
Значення коефіцієнтів C k - табличні дані (див. у програмі). p> Сама гамма-функція виходить з її логарифма взяттям експоненти. h1> Висновок
Гамма функції є зручним засобом для обчислення деяких інтегралів зокрема багатьох з тих інтегралів, які не представимо в елементарних функціях.
Завдяки цьому вони широко застосовуються в математиці і її додатках, в механіці, термодинаміці і в інших галузях сучасної науки. br/>
Список літератури
1. Спеціальні функції та їх застосування:
Лебедєв І.І., М., Гостехтеріоіздат, 1953
2. Математичний аналіз частина 2:
Ільїн О.А., Садовничий В.А., Сенд Бл.Х., М., "Московський університет", 1987
3. Збірник завдань з математичного аналізу:
Демидович Б.П., М., Наука, 1966
4. Інтеграли і ряди спеціальні ...
