для її я-ой похідної справедливо рівність
В
Вивчимо тепер поведінка - функції і побудуємо ескіз її графіка. (Див. Додаток 1)
З виразу для другої похідної-функції видно, що для всіх. Отже, зростає. Оскільки, то за теоремою Роля на сегменті [1,2] похідна при і при, тобто Монотонно убуває на і монотонно зростає на. Далі, оскільки, то при. При з формули випливає, що при. p> Рівність, справедливе при, можна використовувати при поширенні - функції на негативне значення.
Покладемо для, що. Права частина цієї рівності визначена для з (-1,0) . Отримуємо, що так продовжена функція приймає на (-1,0) негативні значення і прі, а також при функціяВ . p> Визначивши таким чином наВ , Ми можемо за тією ж формулою продовжити її на інтервал (-2, -1). На цьому інтервалі продовженням виявиться функція, що приймає позитивні значення і така, що при й. Продовжуючи цей процес, визначимо функцію, маючі розриви в цілочисельних точках (див. Додаток 1.) p> Відзначимо ще раз, що інтеграл
В
визначає Г-функцію тільки при позитивних значеннях, продовження на негативні значення здійснено нами формально за допомогою формули приведення.
4. Обчислення деяких інтегралів.
Формула Стірлінга
Застосуємо гамма функцію до обчислення інтеграла:
В
де m> -1, n>-1.Полагая, що, маємо
В
і на підставі (2.8) маємо
В
(4.1)
У інтегралі
В
Де k> -1, N> 0, досить покласти
В
Інтеграл
В В
Де s> 0, розкласти в ряд
В
=
де дзетта функція Рімана
Розглянемо неповні гамма функції (функції Прима)
В
пов'язані нерівністю
В В
Розкладаючи, в ряд маємо
В
В
Переходячи до висновку формули Стірлінга, що дає зокрема наближене значення n! при великих значеннях n, розглянемо попередньо допоміжну функцію
(4.2)
безперервності на інтервалі (-1,) монотонно зростає від до при зміні від до і звертаються в 0 при u = 0.Так як
В
то при u> 0 і при u <0, далі маємо
В
І так похідна неперервна і позитивна у всьому інтервалі, задовольняє умові
В
З попереднього випливає, що існує зворотна функція, визначена на інтервалі безперервна і монотонно зростаюча в цьому інтервалі,
звертається до 0 при v = 0 і задовольняє умова
В
(4.3)
Формулу Стірлінга виведемо з рівності
В
вважаючи, маємо
В
Покладемо далі введена вище зворотна функція, що задовольняє умовам u =-1Прі, і при. Помічаючи що (см.4.2)
В
маємо
,
вважаючи на кінець ,, Отримаємо
В
або
В
в межі при тобто при (см 4.3)
В
зв...
