;єм на ТРИКУТНИК <# "168" src = "doc_zip45.jpg"/>
Сума радіусів зелених Кіл дорівнює сумі радіусів червоних Кіл.
І навпаки, ЯКЩО сума радіусів вписаного в трикутник Кіл НЕ поклади від способу тріангуляції, то многокутнік можна вписатися в коло. Японська теорема віпліває з теореми Карно, це є одною Із завдань сангаку. p> Формула Карно, назівається на честь Лазаря Карно <# "16" src = "doc_zip47.jpg"/>
де r - Радіус <# "justify"> Теорема 1. AB - хорда, CD - діаметр кола з центром у точці O , радіусом r , M - середина AB . Если AB = a , CM = b , то:
2 = 4b (2r - b)
В
Теорема 2. Если коло з центром у точці O 1 и радіусом r 1 , коло з центром у точці O 2 и радіусом r 2 та коло з центром у точці O 3 и радіусом r 3 дотікаються и впісані в Коло з центром O и радіусом R, то
R =
або = 2
В
Теорема 3. Если коло з центром у точці O1 и радіусом r1, коло з центром у точці O2 и радіусом r2 та коло з центром у точці O3 и радіусом r3 дотікаються Одне до одного и дотікаються до прямої l , то
3 = або =
В
Доведемо спочатку допоміжне Твердження. Нехай два кола з центрами в точках O1 и O2 и радіусамі r1 и r2 дотікаються между собою в точці A и дотікаються до прямої l у точках B и C
В
Тоді BC =
Доведення. Точка A є точкою Дотик, того вона лежить на прямій OO 1 лютому. Проведемо діаметрі BD и CE; смороду будут паралельних як перпендікулярні до однієї прямої BC. Сполучімо точку A з кінцямі відрізків BD и CE. ТРИКУТНИК DO1A и AO2C - рівнобедрені. Гђ DO1A = Гђ AO2C як внутрішньо різносторонні. Звідсі ГђO1AD = ГђO2AC и точки D, A, C лежати на одній прямій. Аналогічно ї точки B, A, E лежати на одній прямій. ГђACB = ГђAEC, оскількі в сумі з ГђACE Обидва ці кута дають 90 В°. Тому прямокутні ТРИКУТНИК DCB и BEC подібні. З їх подібності маємо 2r1: x = x: 2r2, Звідки x = 2. Вікорістаємо доведенням Твердження для Подальшого доведення теореми. Оскількі C1C2 = C1C3 + C2C3, тоді. Поділівші на, дістанемо:. p> Теорема 4. Если коло з центром у точці O1 и радіусом r1, дотікається до Кіл Із центрами O2, O3, O4 та радіусамі r2, r3, r4 відповідно, коло з центром у точці O2 и радіусом r2 дотікається до Кіл Із центрами в точках O3, O5, та радіусамі r3, r5, кола з центрами в точках O5, O3, O4 та відповіднімі радіусамі r5, r3, r4 дотікаються между собою, кола з центрами в точках O1, O2, O3, O4 та відповіднімі радіусамі r1, r2 , r3, r4 дотікаються до прямої l , то
4 =, r5 =.
В
Теорема 5. Если коло з центром у точці O1 и радіусом r1 дотікається до Кіл Із центрами O2, O3, O4 та радіусамі r2, r3, r4 відповідно, коло з центром у точці O3 и радіусом r3 дотікається до Кіл Із центрами в точках O2 , O4 та радіусамі r2, r4 відповідно, кола з центрами в точках O2, O3, O4 та відповіднімі радіусамі r2, r3, r4 дотікаються до прямої l , то
r1 =.
В
Теорема 6. Если коло з центром у точці O1 и радіусом r1, дотікається до Кіл Із центрами O2, O3, O4, O5 та радіусамі r2, r3, r4, r5 відповідно, коло з центром у точці O3 и радіусом r3, дотікається до Кіл з центрами в точках O2, O4 та радіусамі r2, r4 відповідно, коло з центром у точці O4 и радіусом r4 дотікається до кола з центром у точці O5 и радіусом r5, кола з центрами в точках O2, O3, O4 та відповіднімі радіусамі r2 , r3, r4 дотікаються до прямої l, то
=. br/>В
Теорема 7. Висота прямокутна трикутника, проведена до гіпотенузі, діліть его на 2 ТРИКУТНИК. Доведіть, что сума радіусів Кіл, вписаного у цею трикутник и у два одержаних, дорівнює вісоті даного трикутника. p> Доведення . Спочатку згадаємо лему. Если катетів прямокутна трикутника a и b, а гіпотенуза c, то Радіус вписаного кола r = (a + b - c). p> Не...
