едемо до повторного подвійний інтеграл якщо область D-трикутник,
Рис. 6. Рис. 7. p> обмежений прямими y = 0, y = x і х = а (мал. 7). Якщо інтегрувати спочатку по у, а потім по х, то внутрішнє інтегрування проводиться від лінії у = 0 до лінії у = х, а зовнішнє - від точки х = 0 до точки х = а. Тому
Міняючи порядок інтегрування, отримаємо
В
2) Наведемо до повторного інтеграл якщо область D обмежена лініями у = 0, у = х2 і х + у = 2.
Область D, а також координати крайніх її точок показані на рис. 158. Вид області вказує на те, що зручніше інтегрувати спочатку по x, а потім по y:
Якщо змінимо порядок інтегрування, то результат вже не вдасться записати у вигляді одного повторного інтеграла, тому що лінія OBA має на різних ділянках різні рівняння.
Рис.8
Розбиваючи область D на дві: OBC і CBA, отримаємо
Цей приклад показує, як важливо з самого початку продумати порядок інтегрування.
Формули (А) і (Б) відомості подвійного інтеграла до повторного справедливі і для випадку областей більш загального вигляду. Так, формула (А) застосовна до області, зазначеної на рис.9, а формула (Б) - до області, зображеної на рис.10. У разі області ще більш загального вигляду (Рис.11) подвійний інтеграл слід розбити на суму інтегралів по більш простим областям, а потім кожен з них зводити окремо до повторного, користуючись формулами (А) і (Б). p> Розглянемо тепер кілька прикладів, пов'язаних з обчисленням подвійних інтегралів.
Прімери. 1) Знайдемо подвійний інтеграл від функції
по прямокутній області D
Геометрично I висловлює обсяг чотирикутної призми
(рис.12), основою якої служить прямокутник D, усічений площиною.
Візьмемо повторний інтеграл спочатку по y, потім по x:
Те ж саме отримаємо, інтегруючи спочатку по x, а потім по y:
В
2) Обчислимо подвійний інтеграл
по області D, обмеженої лініями y = x і y = x2. Область D
зображена на рис.13. Інтегруючи спочатку по y, а потім по x,
отримуємо
Правильність результату можна перевірити, змінивши порядок інтегрування:
В
Обчислимо об'єм тіла, обмеженого циліндричними поверхнями й площиною z = 0 (рис.14, а).
Поверхня, що обмежує тіло зверху, має рівняння z = 4-y2. Область інтегрування D виходить в результаті перетину параболи з лінією перетину циліндра z = 4-y2 і площини z = 0, тобто з прямою y = 2 (Мал. 14, б). Зважаючи симетрії тіла відносно площини Oyz обчислюємо половину шуканого обсягу:
Отже, куб.ед.
4) Обчислимо об'єм V тіла, обмеженого поверхнею і площиною Oxy.
Заданий тіло являє собою сегмент еліптичного
параболоїда, розташований над площиною Оху (рис.15). Параболоїд перетинається з площиною Оху по ел...
