ий рішення рівняння
Розділ 3. Метод Ляпунова
. Алгоритм
Ляпунов запропонував простий і дуже ефективний метод побудови періодичних рішень для досить малих значень постійної з рішення системи (1.8). Алгоритм Ляпунова використовує аналітичність шуканих рішень по параметру с і дає правило побудови рішень у формі рядів спеціального виду, розкладених по ступенях цього параметра. p align="justify"> Таким чином, на підставі теореми у розділі 1, рішення системи рівнянь (1.8) можна шукати у вигляді:
,. br/>
але це неможливо, так як період вирішення Т невідомий. Тоді Ляпунов запропонував видозмінити масштаб часу так, щоб рішення отриманої системи мали фіксований період, що не залежить від с (наприклад, рівний). p> Звернемо увагу на формулу (1.24). Вона показує, що якщо ввести заміну
(3.1)
то період коливань по змінної буде дорівнює. Зробивши в системі рівнянь (1.8) заміну (3.1), отримаємо
(3.2)
Так як праві частини системи (3.2) ми помножили на аналітичні функції параметра, то рішення цієї системи, так само як і системи (1.8), аналітичні по і для будь-якого достатньо малого періодичні по. Але період з незалежної змінної тепер уже фіксований, він дорівнює. p> Періодичні рішення системи (3.2) будемо шукати у вигляді рядів
,. (3.3)
Підставами ряди (3.3) в систему рівнянь (3.2) і порівняємо коефіцієнти при однакових ступенях параметра. Функції та будуть задовольняти наступній системі рівнянь:
,. (3.4)
Справді, функції і, будучи аналітичними функціями своїх змінних, такі, що їх розкладання починається з членів другого порядку малості. Отже, при підстановці в ці функції рядів (3.3) функції і не будуть містити членів, лінійних відносно. Початкові значення для системи (3.2) визначені рівностями (1.13)
:,.
Отже, функції і відповідатимуть наступним початковим умовам:
:,,
,, де i = 2,3 ... (3.5)
Функції та будуть задовольняти системі рівнянь
(3.6)
де і? квадратичні члени розкладання функцій і за ступенями параметра. Так як і? аналітичні функції змінних і, причому їх розкладання починається з квадратичних членів, то і є квадратичними формами змінних і.
Точно так само кожна пара функцій і, що входить до розкладання (3.3), визначається системою рівнянь
(3.7)
причому функції і будуть містити величини і лише тих номерів, які менше ніж.
Крім того, функції і будуть містити величини, причому Зауважимо, що величини входять в праві частини (3.7) тільки рівнянь відносно і, для яких:
(3.8)
і т. д.
З рівнянь (1.13) випливає, що функції і при задовольняють початковим умовам
,. (3.9)
Повернемося знову до рівнянь (3.2). Хоча числа нам невідомі заздал...
