егідь, але вони на підставі теореми Ляпунова визначаються однозначно для даної системи і не залежать від параметра, ні від початкових умов. p> Далі члени рядів (3.3) також визначаються однозначно, причому і? періодичні функції змінного періоду. Справді, і? періодичні функції, отже,
(3.10)
Так як функції і не залежать від параметра, а рівності (3.10) справедливі для будь-якого малого, то
,.
Таким чином, ми можемо стверджувати заздалегідь, що функції і, які визначаються як рішення задачі Коші (3.9) для системи рівнянь (3.7), будуть періодичними функціями часу періоду. З іншого боку, рівняння (3.7) відносяться до виду
,, (2.11)
де,
є періодичними функціями часу, оскільки вони визначаються періодичними функціями ...,,, ...,. Система виду (2.11) має періодичне рішення тоді і тільки тоді, коли функції задовольняють умовам
В
На цій підставі можна сформулювати наступне допоміжне твердження:
функції, і числа завжди задовольняють умовам (3.11)
В
Практична частина
Індивідуальне завдання
Побудувати наближене періодичне рішення задачі Коші для системи диференціальних рівнянь:
В
при початкових умовах,. Тут A, С = const. br/>
Рішення завдання
В
В
Підставивши ці розкладання в систему. Отримаємо
В
Заміна,
,
тоді
В
Згідно з методом Ляпунова рішення шукаємо у вигляді статечного ряду по малому параметру с.
В
Так як, тоді
В В В В
Тепер знайдемо коефіціент при с, с2, с3, ..., тоесть знайдемо.
з:
В
рівняння кола, тоді
В
с2:
В
В
В
Знайдемо:
В
Так як
В
Таким чином, отримаємо
В
с3:
В
Тепер знайдемо h2 і перевіримо необхідна і достатня умова існування періодичного розв'язку. Тоесть
В
Необхідна і достатня умова:
, де
В
Таким чином
В
Зараз перевіримо умова існування періодичного розв'язку
В
Таким чином, періодичне рішення існує. Далі підставимо отриманий вираз для h2 в систему для с3
В В
В
sin2?:
sin3?:
В
В
с4:
В
Тепер для зручності позначимо деякі числові вирази
тоді
В В В
Знову переобозначив
В
Тоді
В
Далі знайдемо h3
, де
В
Тепер підставимо знайдені значення для в систему
В
При цьому повернувшись до заміни
,
Звідки
В
Тоді наше рішення прийме вигляд
В
Список літератури
