го порядку. Повторюючи ці дії, через кінцеве число кроків прийдемо до головного ряду з факторами простих порядків. p> Зворотно, якщо група G має головний ряд з факторами простих порядків, то цей ряд буде нормальним, а його фактори циклічними. Значить група G буде сверхразрешіма. p>
Теорема 2.1. [1, теорема 26.4]. (1) Максимальні підгрупи сверхразрешіма групи мають прості індекси
(2) У сверхразрешіма групі кожна мінімальна нормальна підгрупа має простий порядок.
Доказ.
(1) Нехай G - сверхразрешіма група і. За лемі 2.3 група G має головний ряд
<6>
з факторами простих порядків. Зафіксуємо число i таке що, але. Оскільки і, то і
Але і, тому або, або. Оскільки,, то й. p> (2) Скористаємося індукцією по порядку групи. Нехай. За лемі 2.3 в групі G існує мінімальна нормальна підгрупа K простого порядку. Якщо, то N = K і твердження справедливе. Нехай. За лемі 1.4, підгрупа - мінімальна нормальна підгрупа фактор-групи. За індукції - просте число. p align="justify"> Лемма 2.4 [1, Лемма 26.5]. Якщо G - сверхразрешіма група і p-Найбільший простий дільник порядку G, то Сіловская p-підгрупа групи G нормальна.
Доказ.
Скористаємося індукцією по порядку групи G. Нехай Тоді - просте число теоремі 2.1. Фактор-група сверхразрешіма. За індукції, тобто Якщо то й Нехай тоді. Так як фактор-група по теоремі 1.6, є циклічною групою порядку то й Але тепер, отже. br/>
Глава 3. Приклади
Зауважимо, що можна навести приклад кінцевої неабелева групи, яка є сверхразрешіма.
Приклад 3.1. Група кватернионов Q сверхразрешіма, але не абелева.
Нехай Q = 4 = B 4 = E, A 2 = B 2 , B -1 AB = A -1 > - група кватерніонів, породжена матрицями A = і B = .
Елементами групи Q є матриці:
, , ,
.
Таким чином, = 8 = 2 3 . Отже, в силу прикладу 3.1 група кватерніонів Q сверхразрешіма.
Однак група Q не є абелевої.
Дійсно,
...
