чна. Отже, ряд <2> нормальний і його чинники циклічні. Тому підгрупа U сверхразрешіма. p> Нехай. Розглянемо ряд
В
Ясно, що для всіх, тому ряд <3> нормальний.
Далі,
В
тому фактори ряду <3> циклічні і фактор-група сверхразрешіма.
(2) Нехай G і H - сверхразрешіма групи. Тоді групи G і H мають нормальними рядах
В
з циклічними фактораміРассмотрім пряме твір і побудуємо ряд
В
Цей ряд нормальний і його чинники циклічні.
(3) Нехай група сверхразрешіма. Тоді група володіє нормальним поруч <1> з циклічними факторами. Так як циклічна, то залагодити. Так як і циклічні, то вони вирішувані, тому можна залагодити по лемі 1.2. Тепер і вирішувані, значить і залагодити по лемі 1.2, і т.д. Через кінцеве число кроків отримуємо, що група залагодити. p> Лемма 2.2 [1, Лемма 26.2]. (1) Якщо група G містить нормальну циклічну підгрупу K і фактор-група G/K сверхразрешіма, то група G сверхразрешіма. p align="justify"> (2) Якщо фактор-група G/Z (G) сверхразрешіма, то група G сверхразрешіма.
(3) Вивчення нильпотентної група сверхразрешіма.
Доказ .
(1) Так як G/Kсверхразрешіма, то є нормальний ряд
В
з циклічними факторами Розглянемо ряд
<4>
Бо те і ряд <4> нормальний.
Крім того, фактори циклічні дляДалее, - циклічна група. Значить ряд <4> нормальний з циклічними факторами і група сверхразрешіма. p> (2) Нехай. Так як сверхразрешіма, то є нормальний ряд
В
з циклічними факторами Оскільки в абелевої групі максимальні підгрупи мають прості індекси, то група має низку
В
з факторами простих порядків. Розглянемо ряд
<5>
Так як, то Оскільки всі підгрупи з центру групи нормальні в групі, то ряд <5> нормальний. Крім того, фактори
В
циклічні дляа фактори
В
мають прості порядки. Значить ряд <5> нормальний з циклічними факторами і група сверхразрешіма. p> (3) Скористаємося індукцією по порядку групи. Нехай G - нильпотентна група і. Тоді K має простий порядок. За індукції фактор-група сверхразрешіма. Тепер група G сверхразрешіма по (1). p align="justify"> Лемма 2.3 [1, Лемма 26.3]:
Група сверхразрешіма тоді і тільки тоді, коли вона володіє головним поряд з факторами простих порядків.
Доказ.
Нехай G сверхразрешіма. Тоді вона має нормальний ряд <1> з циклічними факторами. Так як і циклічна, то по лемі 1.2, всі підгрупи в характеристичні. Нехай - підгрупа простого індексу в. Тоді
В
отже по лемі 1.3, і ряд
В
нормальний з циклічним фактором просто...
