ельності популяцій сардин і риб-хижаків у Середземному морі, В. Вольтерра виділив такі кількісні характеристики:
- чисельність сардин (Позначивши їх за x);
- чисельність хижаків (Відповідно y). p> Далі він виявив важливі для нього відносини між ними:
1) у середньому всі особини однакові;
2) популяція сардин збільшується, якщо немає зустрічей з хижаком;
3) швидкість росту її чисельності пропорційна самої чисельності (так як кожна особина може зробити потомство);
4) кількість сардин, що гинуть від хижаків пропорційно числу зустрічей з ними, а це число в середньому
5) популяція хижаків зменшується при відсутності сардин (гинуть від голоду);
6) швидкість цієї убутку пропорційна чисельності хижаків;
7) швидкість приросту числа хижаків пропорційна числу їх зустрічей з кормом-сардинами, тобто величиною xy.
Будучи великим спеціалістом в теорії диференціальних рівнянь, Вольтерра розглядає x і y як фунции від часу і швидко знаходить необхідний об'єкт в математиці - систему звичайних диференціальних рівнянь:
,
де A, B, C, D - деякі позитивні коефіцієнти, які залежать від конкретних природних умов.
Вивчаючи потім цю систему методами, розробленими іншими математиками задовго до нього, Вольтерра отримує опис і пояснення багатьох явищ, помічених за довгу історію рибальства в Італії, таких наприклад, як дивні коливання величини улову сардин (а значить і їх загальної чисельності).
Цей приклад показує ще одну ідею моделювання - деяке спрощення, відкидання зайвої, що не потрібної інформації. Тут, це допущення однаковості особин, равновероятности їх зустрічей, равновозможних виробляти потомство. Ми як-ніби б абстрагуємося від конкретної сардини і виділяємо тільки потрібні для нас її властивості. Звичайно в підсумку, ми отримуємо кілька спрощену картину явища, але в даному випадку нам це і було потрібно. Найважливішим моментом є те, щоб при спрощення не упустити потрібні нам рис, не огрубити модель настільки, щоб вона перестала досить добре для нас описувати явище. З іншого боку, модель не повинна вийти дуже складною, яка не піддається математичному аналізу. Правда, з появою потужних ЕОМ, можливості аналізу помітно розширилися, але деякі завдання, наприклад довгострокове прогнозування погоди, до цих пір є недоступними.
Дивним чином виявляється, що одна і та ж математична модель може описувати багато різноманітних явищ в різних областях. Наприклад, одне диференціальне рівняння може описувати і зростання чисельності популяції, і хімічний розпад, і ланцюгову ядерну реакцію, і распростроненіе інформації в соціальній групі. У чому причина такої всепрімінімості математичних моделей? Відповіді на це питання математика не дає. Ось що каже академік В.І. Арнольд в лекції [4]: ​​
Чому модель перерізу конуса описує рух планет? Містика. Загадка. Відповіді на це питання немає. Ми віримо в силу раціональної ...
